第五章二次型s5.1二次型的矩阵表示标准形$5.2S5.3唯一性S5.4正定二次型章小结与习题
第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题
s 5.3 唯一性复数域上的二次型的规范形！、一实数域上的二次型的规范形三、小结85.3唯一性
§5.3 唯一性 一、复数域上的二次型的规范形 二、实数域上的二次型的规范形 三、小结 §5.3 唯一性
问题的产生：1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关。如：二次型 f(X,X2,X)=2xX2-6xX+2XXxi)-(0)福X2作非退化线性替换X(,)=2一+得标准形$5.3唯一性P
§5.3 唯一性 问题的产生： 1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化 线性替换有关. 如：二次型 1 2 3 1 2 2 3 1 2 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 6 2 = − + 作非退化线性替换 1 1 2 1 3 3 1 1 3 1 1 1 0 0 1 x y x y x y = − − 得标准形 222 1 2 3 1 2 3 f x x x y y y ( , , ) 2 2 6 = − + 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 ( , , ) 2 2 3 f x x x z z z = − + 1 1 2 1 3 3 1 1 2 1 1 1 2 1 3 0 0 1 3 x z x z x z = −
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关"若f(xi,…,xn)=X'AX作非退化线性替换X=CY化为标准形Y'DY，则有 D=C'AC,秩(D)=秩(C'AC)=秩(A)而秩(D)等于D 的主对角线上不为零的元素的个数85.3唯一性A
§5.3 唯一性 2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中， 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所 作的非退化线性替换无关. 秩( ) ( ' ) ( ) D C AC A = = 秩 秩 而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数. ∵若 f x x X AX ( , , ) ' 1 n = 作非退化线性替换 X CY = 化为标准形 ，则有 D C AC = ' , Y DY
定义二次型(x，X2x,）=X'AX的秩等于矩阵A的秩，即秩f=秩（A）：3.问题：如何在一般数域P上，进一步“规范”平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）85.3唯一性人
§5.3 唯一性 3. 问题： 如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零 系数的形式？（这样产生了唯一性的问题） 定义 二次型 的秩等于矩阵A的秩， 即秩 f ＝秩（A）. 1 2 ( , , , ) ' n f x x x X AX =