第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构s4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
S 6.2线性空间的定义与简单性质线性空间的定义、线性空间的简单性质86.2线性空间的定义与简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质 §6.2 线性空间的定义 与简单性质
引例1在第三章$2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：(a,a2,..",an)+(bi,b2,...,bn)=(a, +bi,a, +b2,..",an +bn)k(a,a,,..-,an)=(ka,ka,,..,ka,), keP而且这两种运算满足一些重要的规律，如1α=αα+β=β+αk(lα) =(kl)α(α+β)+=α+(β+)(k +l)α = kα + lαα+0=αα+(-α)= 0k(α+β)=kα+kβVα,β,ep", Vk,lePS6.2线性空间的定义与简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n a a a b b b a b a b a b + = + + + 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , ), n n k a a a ka = ka ka k P 而且这两种运算满足一些重要的规律,如 引例 1 空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： + = + 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量 + = 0 ( ) ( ) + + = + + + − = ( ) 0 1 = k l kl ( ) ( ) = ( ) k l k l + = + k k k ( ) + = + , , , , n P k l P
引例2数域P上的一元多顶式环P[x中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算同样满足上述这些重要的规律，即f(x)+ g(x)= g(x)+ f(x)(f(x)+ g(x)+ h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)f(x)+0= f(x)f(x)+(-f(x)= 0Vf(x),g(x),h(x)e P[xl,Vk,lep1f() = f()k(l)f(x)=(kl)f(x)(k +l)f(x) = kf(x)+lf(x)k(f(x)+ g(x) = kf(x)+ kg(x)6.2线性空间的定义与简单性质区区
§6.2 线性空间的定义与简单性质 同样满足上述这些重要的规律，即 ( ), ( ), ( ) [ ], , f x g x h x P x k l P f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + k l f x kl f x ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) f x f x = f x f x ( ) ( ( )) 0 + − = f x f x ( ) 0 ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) k l f x kf x lf x + = + k f x g x kf x kg x ( ( ) ( )) ( ) ( ) + = + 引例 2
一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对Vα,βeV,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为α与β的和，记为=α+β；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即VαV,VkeP,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为=kα.如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：S6.2线性空间的定义与简单性质区区
§6.2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为 与 的和，记为 = + ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V k P , , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 k与 的数量乘积，记为 = k . 如果加法和数量乘 法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：