第十章双线性函数s10.1线性函数S10.2对偶空间$10.3双线性函数S10.4对称双线性函数
第十章 双线性函数 §10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
$ 10.2对偶空间、对偶空间与对偶基二、对偶空间的有关结果$10.2对偶空间
§10.2 对偶空间 一、对偶空间与对偶基 二、对偶空间的有关结果 §10.2 对偶空间
一、对偶空间与对偶基1.对偶空间定义设V是数域 P上的n维线性空间,L(V,P)表示V上全体线性函数的集合，在L(V,P)中定义加法和数乘运算：Vf,gEL(V,P),αeV,kEP(kf)(α) = kf(α)(f +g)(α)= f(α) +g(α),则L(V,P)构成数域P上的线性空间，称之为V的对偶空间，记为 V*810.2对偶空间
§10.2 对偶空间 一、对偶空间与对偶基 1. 对偶空间 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， L V P ( , ) 表示 V 上全体线性函数的集合，在 L V P ( , ) 中定义加法 和数乘运算： f g L V P V k P , ( , ), , ( )( ) ( ) ( ), f g f g + = + ( )( ) ( ) kf kf = 则 L V P ( , ) 构成数域 P 上的线性空间，称之为V 的对偶空间，记为 * V . 定义
1.对偶基设81,82,8为数域P上线性空间V的一组基，(1, i=ji,j=1,2,...,n作映射 J(e)=(6,厚,则 f,eL(V,P)=V,且①对任意 α=x+x,e,+...+x,e,EV,有，f,(α)=x;， i=1,2,"",n即, α= fi(α)e, + f,(α)e, +... + f,(α)en.810.2对偶空间区区
§10.2 对偶空间 1. 对偶基 设 1 2 , , , n 为数域 P 上线性空间 V 的一组基， 作映射 1, ( ) , , 1,2, , 0, i j i j f i j n i j = = = 则 ，且 * ( , ) i f L V P V = 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) . n n 即， = + + + f f f ( ) , 1,2, , i i 有， f x i n = = 1 1 2 2 , n n ① 对任意 = + + + x x x V
②fi,f,,fn线性无关证明：设kfi+k,, +...+kf, =0i=1,2,..",n.k, = 0,两端作用ε.得f,f2,…,fn线性无关③V*中任意线性函数可由fi,f2,,f,线性表出证明：VgeV*=L(V,P)，对 VαεV,设α=Xe+X2e2+...+Xnen则g(α) = xig()+x2g(c)+...+xng(cn)810.2对偶空间A
§10.2 对偶空间 ② 1 2 线性无关. , , , n f f f 证明：设 1 1 2 2 0 n n k f k f k f + + + = 两端作用 i 得 0, i k = i n = 1,2, , . ③ 中任意线性函数可由 线性表出. * V 1 2 , , , n f f f 证明： ，对 ，设 * = g V L V P ( , ) V 1 1 2 2 n n = + + + x x x 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n g x g x g x g = + + + 1 2 , , , n f f f 线性无关