第十章双线性函数s10.1线性函数S10.2对偶空间S10.3双线性函数s10.4对称双线性函数
第十章 双线性函数 §10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
S 10.3双线性函数双线性函数、度量矩阵二、三、非退化双线性函数810.3双线性函数AD
§10.3 双线性函数 一、双线性函数 二、度量矩阵 §10.3 双线性函数 三、非退化双线性函数
双线性函数定义设V是数域P上的n维线性空间，映射f:V×V→P为V上的二元函数.即对Vα,βeV,根据唯一地对应于p中一个数f(α,β)，如果f(α,β）具有性质：(1) f(α,kβ +k,β,) = kf(α,β)+kf(α,β,)(2) f(k,α + k,α2,β) = k,f(α1,β)+ kzf(α2,β)其中 α,α,αz,β,β,β, eV,k,k, EP则 f(α,β)称为 V上的一个双线性函数$10.3双线性函数V
§10.3 双线性函数 一、双线性函数 定义 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，映射 f V V P : → 为 V 上的二元函数. 即对 , , V 根据 f 唯一地对应于 P 中一个数 f ( , ) , 如果 f ( , ) 具有性质: 1 1 2 2 1 1 2 2 (1) ( , ) ( , ) ( , ) f k k k f k f + = + 1 1 2 2 1 1 2 2 (2) ( , ) ( , ) ( , ) f k k k f k f + = + 其中 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , V k k P 则 f ( , ) 称为 V上的一个双线性函数
注对于线性空间V上的一个双线性函数f(α,β)当固定一个向量α(或β)不变时，可以得出一个双线性函数.例1.线性空间V上的内积即为一个双线性函数，f :V×V-→P,f(α,β) =(α,β),Vα,βeV$10.3双线性函数
§10.3 双线性函数 对于线性空间V上的一个双线性函数 当固定一个向量 (或 )不变时，可以得出一 个双线性函数. f ( , ) 注 例1.线性空间 V 上的内积即为一个双线性函数. f V V P f V : , ( , ) ( , ), , → =
例2.V上两个线性函数fi,f,:V→P定义 f :V×V→P, f(α,β)= fi(α)f(β)证明：f是V上的一个双线性函数证: f(α,k,β +k,β)= f(α)f2(k,β, +k,β,)=kf(α,β)+k,f(α,β,),f(k,α +k,α2,β)= fi(k,α, +k,α,)f,(β)= kif(α1,β)+k,f2(αz,β)810.3双线性函数V
§10.3 双线性函数 例2. V 上两个线性函数 1 2 f f V P , : , → 1 2 定义 f V V P f f f : , ( , ) ( ) ( ) → = 证明: f 是V上的一个双线性函数. 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 f k k f f k k ( , ) ( ) ( ) + = + 1 1 2 2 = + k f k f ( , ) ( , ), 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 f k k f k k f ( , ) ( ) ( ) + = + 1 1 2 2 2 = + k f k f ( , ) ( , ) 证：