一、填空（每题2分，共20分） 1.W(a12.(m-10)= 2.设D为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2,3,1，其余子式分别为9,6， 24,则D= 。 3.关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 ,结论 是 4.n阶矩阵A可逆的充要条件是 一，设为A的伴随矩阵，则 A'= 5.若n阶矩阵满足P-2A-41=0,则Ar= 1） 123 234) 4 4 7.设向量组a,a,a线性相关，则向量组4，月，a,月，a,B一定线 性 8.设A三阶矩阵，若A3,则4。，A 9.n阶可逆矩阵A的列向量组为%，4a,则r(,4,.a,)=一 10.非齐次线性方程组Am"=b有解的充要条件是 二、单项选择题(10分，每题2分) k-12 1.2k-0的充要条件是()。 (a)k1b)k≠3（e)k*-l且k≠3（dk*-L或3 2.ABC为n阶方阵，则下列各式正确的是() (a)AB=BA (b)AB=0则A=0或B=0 (c)(A+B)(A-B)=f-Bd)AC=C且C可逆，则A=B 3.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是() a)4≠0，o)4川≠0（⊙r)@A的行向量组线性相关 4.设矩阵作(a,）m,A=0仅有零解的充要条件是(）
一、 填空（每题 2 分，共 20 分） 1. N (n12.(n-1))= 。 2. 设 D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为 9，6， 24，则 D= 。 3. 关 于 线 性 方 程 组 的 克 莱 姆 法 则 成 立 的 条 件 是 ， 结 论 是 。 4. n 阶矩阵 A 可逆的充要条件是 ，设 A * 为 A 的伴随矩阵，则 A -1 = 。 5. 若 n 阶矩阵满足 A 2 -2A-4I=0,则 A -1 = 。 6. 4 3 2 1 1 2 3 4 = ， 1 2 3 4 4 3 2 1 = 。 7. 设 向 量 组 1 2 3 , , 线 性 相 关 ， 则 向 量 组 1 1 2 2 3 3 , , , , , 一 定 线 性 。 8. 设 A 三阶矩阵，若 A =3，则 1 A = , * A = 。 9. n 阶可逆矩阵 A 的列向量组为 n , , 1 2 ，则 r( n , , 1 2 )= 。 10.非齐次线性方程组 Amn X=b 有解的充要条件是 。 二、单项选择题（10 分，每题 2 分） 1． 2 1 1 2 k k 0的充要条件是（ ）。 （a） k 1（b） k 3（c） k 1,且k 3（d）k 1,或k 3 2. A,B,C 为 n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ） (a) AB=BA (b) AB=0,则 A=0 或 B=0 (c) （A+B）（A-B）=A 2 -B 2 d) AC=BC 且 C 可逆,则 A=B 3. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） (a) A 0, (b) 1 A 0 (c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关 4. 设矩阵 A=(aij) mn ，AX=0 仅有零解的充要条件是（ ）
(a)A的行向量组线性无关 ()A的行向量组线性相关 (c)A的列向量组线性无关 (d)A的列向量组线性相关 5.向量组a,:0的秩为r,则下述说法不正确的是（) (a),a,.4,中至少有一个r个向量的部分组线性无关 (b)%,a,中任何r个向量的线性无关部分组与，.a,可互相线性表示 (c),.a,中r个向量的部分组皆线性无关 (d),a2中r+1个向量的部分组皆线性相关 三、判断题（正确的划√，错误的划x,共10分，每题2分） 1.5级排列41253是一个奇排列。() 2.A为任意的m×n矩阵，则A,A都是对称矩阵。() 3.,a,a线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。（) 000 0010 0100 4.行列式1000=-1（) 5.若两个向量组可互相线性表示，则它们的秩相等。() 四、计算n阶行列式(12分) xaa.aa a x a aax.a aaa.ax (223 1-10 2.解矩阵方程=其中-2 (13分)注：A不可逆，修改为 (2231 1-10 -122
(a)A 的行向量组线性无关 (b)A 的行向量组线性相关 (c)A 的列向量组线性无关 (d)A 的列向量组线性相关 5. 向量组 s , , 1 2 的秩为 r,则下述说法不正确的是（ ） (a) s , , 1 2 中至少有一个 r 个向量的部分组线性无关 (b) s , , 1 2 中任何r个向量的线性无关部分组与 s , , 1 2 可互相线性表示 (c) s , , 1 2 中 r 个向量的部分组皆线性无关 (d) s , , 1 2 中 r+1 个向量的部分组皆线性相关 三、判断题（正确的划√，错误的划х，共 10 分，每题 2 分） 1．5 级排列 41253 是一个奇排列。（ ） 2．A 为任意的 mn矩阵, 则 A T A, AA T 都是对称矩阵。（ ） 3． s , , 1 2 线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。（ ） 4．行列式 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 =-1 （ ） 5．若两个向量组可互相线性表示，则它们的秩相等。（ ） 四、计算 n 阶行列式（12 分） a a a a x a a x a a a x a a a x a a a a 2．解矩阵方程 AX=A+X,其中 A= 1 2 1 1 1 0 2 2 3 (13 分) 注：A 不可逆，修改为 1 2 2 1 1 0 2 2 3
3.求向量组%=(2,42.%=10,4，=(2,3，a=(65,2)的极大线性无关组， 并将其余向量用该极大无关组线性表示。(10分) 4.用消元法解下列方程组。(15分) -3+x-x4=1 -x2-x3+x4=0 3-2x+2x=-月 五、证明题（从下列三题中任选两道，每题5分，共10分） 1.设向量组a,a线性无关，证明%，4+，a++也线性无关。(5分)》 2.已知向量组a,B,Y线性无关，而向量组C,B,”线性相关，试证明：(1)向 量1一定可由向量组a,B,Y线性表示 (2)表示法是唯一的。(5分) 3.A,B是同阶对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。(5 分) 线性代数试题（一）答案 -.0.nn-D2.-12 ③.线性方程组的系致行列式D:0:方程组有唯一解目吕 [1234 2468 国.40，司4 .4-20 36912 (6).30,481216 1 ().相关（⑧）.3,9(9.n10.4=() 二.(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四. ().[r+(n-1)a小-(x-a）-
3．求向量组 (2,4,2), (1,1,0), (2,3,1) 1 2 3 ， (3,5,2) 4 的极大线性无关组， 并将其余向量用该极大无关组线性表示。（10 分） 4．用消元法解下列方程组。 （15 分） 2 1 2 2 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 五、证明题 （从下列三题中任选两道, 每题 5 分，共 10 分） 1．设向量组1, 2, 3 线性无关，证明1 ,1 2 ,1 2 3也线性无关。（5 分） 2．已知向量组,, 线性无关，而向量组,, , 线性相关，试证明：（1）向 量 一定可由向量组,, 线性表示； （2）表示法是唯一的。 （5 分） 3． A,B 是同阶对称矩阵，证明：AB 为对称矩阵的充要条件是 A 与 B 可交换。（5 分） 线性代数试题(一)答案 一．(1). 2 n(n 1) (2). –12 (3). 线性方程组的系数行列式 D 0 ；方程组有唯一解且 D D x J j (4). A 0 ； 1 * A A (5). ( 2 ) 4 1 A I (6). 30， 4 8 12 16 3 6 9 12 2 4 6 8 1 2 3 4 (7). 相关 (8). 3 1 , 9 (9). n (10). rA b rA 二．(1)C (2)D (3)D (4)C (5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四. (1). 1 [ ( 1) ] ( ) n x n a x a
「3 2 -1 3 X= 1-40 0 23-42 (2) (3).极大线性无关组为1,2 a,-a+a;ia,-a+a; (4)全部解为： G0专g+o.o+.0.o.s （e:,c为任 意常数) 五.略
(2). 0 1 243 0 41 23 1 23 X (3).极大线性无关组为 1 2 , 3 1 2 4 1 2 ; 21 (4) 全部解为： T T T , 0 c 1, 1, 0, 0 c 0, 0, 1, 1 21 , 0, 21 1 2 (c1 ,c2 为任 意常数) 五．略