§5.2方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
§5.2 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
一、方阵的特征值与特征向量的概念 定义5.2.1设A是n阶矩阵，若存在实数入和非零向 量x,使得Ax=几x成立，则称数2为方阵A的特征 值，非零向量x称为A的对应于特征值2的特征向量， 说明： 1.特征向量X。≠O列向量，并且满足AX。=X。 2.一个特征值有无穷多个特征向量，一个特征向量 只对应一个特征值 3.阶方阵A的特征值台A-E=0的根
5.2.1 , . A n x Ax x A x A = 设 是 阶矩阵，若存在实数 和非零向 量 使得 成立，则称数 为方阵 的 非零向量 称为 的对应于特 特 征值 的 征 值， 特 定 征向量 义 一、方阵的特征值与特征向量的概念 说明： . 2. , 只对应一个特征值 一个特征值有无穷多个特征向量 一个特征向量 1. , . 特征向量X0 O列向量 并且满足AX0 = 0 X0 3.n阶方阵A的特征值 A−E = 0的根
由定义5.2.1得A-2E=0 12 n W 02- =0 。 上述行列式为关于的n次多项式，称A-E=0为 方阵A的特征方程 A-E是的n次多项式，称为方阵A的特征多项式， 记f4(2)=A-E
由定义5.2.1 0 得 A E − = 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a − − = − . , 0 方阵 的特征方程 上述行列式为关于 的 次多项式 称 为 A n A− E = ( ) . , , f A E A E n A A = − − 记 是 的 次多项式 称为方阵 的特征多项式
4.方阵A的对应于的特征向量台方程组(A-E)X =0的任意非零解 二、特征值与特征向量求法 1.求特征值与特征向量的步骤： ()计算行列式A-2E=0,求出2的值，即为方阵A的 特征值 (2)求出(A-E)X=0的一个基础解系5，.，5n,则 特征值的所有特征向量为5=k气+.+k-,5m 其中k,.,k,-为不全为零的常数
0 . 4. ( ) 的任意非零解 方阵 的对应于 的特征向量 方程组 = A A− E X 二、特征值与特征向量求法 1.求特征值与特征向量的步骤： . (1) 0, , 特征值 计算行列式 A− E = 求出的值 即为方阵A的 . (2) ( ) 0 , , , 1 1 1 n r n r n r k k A E X − − − = + + − = 特征值 的所有特征向量为 求出 的一个基础解系 则 , , . 其中k1 kn−r 为不全为零的常数
2.方阵特征值与特征向量的求解 3-1 例1求方阵A= 的特征值和特征向量 -13 解：A的特征多项式为 14-= 3- ，-1 -13- =(4-2)(2-2) 三的特征值为2=2,22=4 下边求特征向量（解(A-2E)X=O) 对21=2
− − − − − = 1 3 3 1 A E 3 1 1 1 3 A − = − 例 求方阵 的特征值和特征向量 = (4 − )(2 − ) 1 2 = = A的特征值为 2, 4 2, 对1 = 下边求特征向量( ) 解( ) A E X O − = 2 解：A的特征多项式为 2.方阵特征值与特征向量的求解