《线性代数》课程PPT教学课件（B）第五章 相似矩阵与二次型_5-4实对称矩阵的相似对角形

§5.4实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵的对角化 三、小结

§5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵的对角化 三、小结

一、实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似为此，我们 首先证明下面三个引理。 引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数 证明设复数为对称矩阵4的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 Ax=入x,x≠0. 用九表示的共轭复数，x表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(几x)=元x

引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. , 证明 , 设复数为对称矩阵A x 的特征值 复向量 为 对应的特征向量 即 Ax = x , x  0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = = = ( ) ( ) . Ax x x   x表示x的共轭复向量 , 一、实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理

于是有'Ax='(Ax)='x=x, 另外'Ax=A'x=(A)'x=(2x)'x=元xx 两式相减，得(2-元)x=0. 但因为x≠0， 所以=∑x=∑x≠0，→（亿-元）=0， 即2=元，由此可得是实数

于是有 = ( ) Ax x = ( )  x x   x x  = 两式相减，得 ( ) 0.   − = x x  但因为x  0,  − = ( ) 0,   即 = , 由此可得是实数. 2 1 1 0, n n i i i i i x x x x x = = 所以  = =    x Ax x Ax   = ( ) = x x  =  x x  , 另外 x Ax x A x    =

由定理5.4.1可推出： 由于对称矩阵4的特征值2为实数，所以齐次 线性方程组 (A-九E)x=0 是实系数方程组，由A-2,E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量为实向量 引理5.4.2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正 交的

由定理5.4.1可推出： , ( ) 0 , 0 , . i i i A A E x A E    − = − = 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 线性方程组 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 系 从而对应的特征向量为实向量 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正 交的

证明 设P1,P,是对称矩阵A的不同的两个特征值 2,入，的特征向量，即 Ap1=元P1,Ap2=入2P2, .A=A', ∴p1'=(2,=(4py=p1'A=p1'A 于是 P1P2=p1'Ap2=p'(P)=九2P1P2, →(21-2p1p2=0. 入≠22，∴.P1P2=0.即p1与p2正交

1 2 1 2 , , , p p A   设 是对称矩阵 的不同的两个特征值 的特征向量 即 证明 1 1 1 2 2 2 Ap p Ap p = =   , ， A A =  , 1 1  p  1 1 p A p A,   = =  于是 1 1 2  p p  = 2 1 2  p p , =  1 2 1 2  − = ( ) 0.   p p  , 1  2 .  = p p 1 2  0. 即p1与p2正交 1 2 p Ap  1 2 2 = p p  ( )  1 1 = ( )  p  1 = ( ) Ap 