《线性代数》课程PPT教学课件（B）第五章 相似矩阵与二次型_5-5二次型及其标准形

§5.5 二次型及其标准形 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 四、二次型的秩 五、小结思考题

§5.5 二次型及其标准形 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 四、二次型的秩 五、小结 思考题

一、二次型的概念 1.定义5.5.1含有n个变量x1,x2,.,x的二次齐次 多项式 f(x1,x2,.,xn）=anx2+2a12x2+.+2 AnXX +2号++2a2nx2xn 称为二次型。 当a,是复数时，f称为复二次型； 当a,是实数时，f称为实二次型

  1 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 , , , , , , 2 2 5 2 .5. . 1 n n n n n n nn n n x x x f x x x a x a x x a x x a x a x x a x               1. 含有 个变量 的二次齐次 多项式 称 定 为二次型 义 , ; , . ij ij a f a f 当 是复数时 称为 当 是实数时 称 复二次型 为实二次型 一、二次型的概念

例如+k2+3xx3+2x号+4x2水3+3x xx2+5x+(3+i)xzx;+2xx 都为二次型；下面讨论的二次型均为实二次型. 2.设y1,y2,yn到变量x1,x2,x的线性变换 x=cu+c2y2+.+cinyn x2=C21y1+C22y2+.+C2nyn, (5-12) Xn =Cny+cn2y2+.+cmnyn

例如 都为二次型；下面讨论的二次型均为实二次型. 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 4 3 2 4 3 5 (3 ) 2 x x x x x x x x x ix x x i x x x x          1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , (5 12) . n n n n n n n n n nn n y y y x x x x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y                    2.设由 到变量 的线性变换

或写成为矩阵形式：X=CY 其中 X= ，,Y= Y2 C=(Cij)mxn yn 当C≠0，X=CY称为可逆的线性替换，否则称为 退化的线性替换.特别地 当C为正交矩阵时，称X=CY为正交线性替换. 注意：线性变换把二次型变为二次型

或写成为矩阵形式: X  CY 1 1 2 2 , ( ) ij m n n n x y x y X Y C c x y                       其中 ， 注意：线性变换把二次型变为二次型. 当 C  0, X  CY称为可逆的线性替换，否则称为 退化的线性替换.特别地 当C为正交矩阵时，称X=CY为正交线性替换

二、二次型的矩阵表示 1.取a=a则2g,x,=gxx,+0nxx(i<j) 于是f=a1子+a12x,x2+.+1nx1xn +a212X1+a2+.+2n2Xn +.+0xnx1+0n2xn2+.+anmx =x1(a11x1+a12x2++a1mxn) +x2(a21x1+222+.+2n火n) +.+Xn(anx1+am2x2+.+amn七n)

二、二次型的矩阵表示 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn n f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x                  ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x                  2 ( ) ji ij ij i j ij i j ji j i 1.取a  a ，则 a x x  a x x  a x x i  j 于是