《线性代数》课程PPT教学课件（B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3矩阵相似

§5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、方阵可对角化的条件 三、小结

§5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、 三

一、方阵相似 1.定义：设n阶方阵A,B,如果存在可逆方阵P,使得 P-AP=B 则称B是A的相似矩阵，或称矩阵A与B相似 运算P-1AP称为对A进行相似变换.可逆矩阵P称为 把A变成B的相似变换矩阵. 说明： (1)矩阵相似与等价的关系：矩阵相似一定等价，但 等价不一定相似

一、方阵相似 1.定义 :设n阶方阵A, B,如果存在可逆方阵 P,使得 P AP  B 1 则称B是A的相似矩阵,或称矩阵A与B相似. . . 1 把 变成 的相似变换矩阵 运算 称为对 进行相似变换 可逆矩阵 称为 A B P AP A P  说明: . (1) : , 等价不一定相似 矩阵相似与等价的关系 矩阵相似一定等价 但

作为等价关系具有如下性质 (①)自反性A与A本身相似； ()对称性A与B相似，则B与A相似； ()传递性A与B相似，B与C相似，则A与C相似. (2)P-(A4)P=(P-AP)(P-AP). (3)若A与B相似，则Am与B"相似m为正整数) (4)P(k A+kA)P=kP-AP+kPAP

作为等价关系具有如下性质 1 1 1 1 2 1 2 (2) P (A A )P (P A P)(P A P).     (3) 若A与B相似,则A 与B 相似m为正整数. m m 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 (4) P (k A k A )P k P A P k P A P       (iii)传递性 A与B相似,B与C相似,则A与C相似. (i)自反性 A与A本身相似； (ii)对称性 A与B相似,则B与A相似；

定理5.3.1若阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同，从而A与B的特征值亦相同. 证明A与B相似→可逆阵P,使得P-AP=B ∴.B-E=P-AP-p-(aE)P P-(A-RE)P=P-IA-AE P =A-2E. 说明： 两个方阵A,B相似，不但具有相同的特征值和特征 多项式，而且有相同的行列式，相同的秩，相同的迹

证明 1 A B P, P AP B   与 相似 可逆阵 使得  B E P AP P EP 1 1      P A  EP 1  P A  E P 1  A  E . 5.3.1 , , . n A B A B A B 若 阶矩阵 与 相似 则 与 的特征多项 式相同 从而 与 的特征值 定 亦相同 理 说明: , , , . , , 多项式 而且有相同的行列式 相同的秩 相同的迹 两个方阵A B相似 不但具有相同的特征值和特征

例题1：若矩阵A= 相似，求x,y: 解：利用相似矩阵的迹相等和行列式的值相等，得 22+x=1+4 22x-31y=4-6 解得x=-17,y=-12

解：利用相似矩阵的迹相等和行列式的值相等,得 22 1 4 22 31 4 6 x x y          解得x  17, y  12 , , . 3 4 22 31 1 2 1: B x y y x 例题 若矩阵A 与 相似 求             