第五章相似矩阵与二次型 §5.1向量的内积与正交向量组 §5.2方阵的特征值与特征向量 §5.3相似矩阵 §5.4实对称矩阵的相似对角形 §5.5二次型及其标准型 §5.6正定二次型
第五章 相似矩阵与二次型 §5.1 向量的内积与正交向量组 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.3 相似矩阵 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 正定二次型
§5.1向量的内积及正交向量组 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结思考题
§5.1 向量的内积及正交向量组 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结 思考题
一、内积的定义及性质 1.定义：设有n维向量 a d= an 令[a,B]=a,b+ab2+.+abn 则称a,B]为向量a与B的内积。 (1)n(n≥4)维向量的内积是三维向量数量积的推广， 但是没有3维向量的直观的几何意义. (2)向量内积可利用矩阵乘积表示（α，B为列向量时）
一、内积的定义及性质 1.定义：设有n维向量 n bn b b a a a 2 1 2 1 , n n a b a b a b 1 1 2 2 令 , 则称, 为向量与的内积。 (2)向量内积可利用矩阵乘积表示(,为列向量时) 3 . (1) ( 4) , 但是没有 维向量的直观的几何意义 n n 维向量的内积是三维向量数量积的推广
la,B]=aTB 内积的运算性质 (其中a,B,y为n维向量，2为实数)： ()[a,B]=[B,a] (2)[a,B]=元[a,B]; (3)[a+B,y]=[a,y]+[B,y]; (4)[a,]≥0，且当a≠0时有[a,a>0. schwarz不等式Ia,B]≤[a,a[B,B]
内积的运算性质 其中, , 为n维向量,为实数 : (1) , , ; (2) , , ; (3) , , , ; (4) [ , ] 0,且当 0时有[ , ] 0. 2 schwarz不等式 [, ] [,][ , ] T ,
二、向量的长度及性质 定义5.1.2非负数V[a,a]=Va++.+a称为向量 a的长度（或范数），记作a· 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当a≠0时，a>0;当a=0时，a=0 2.齐次性aal=la 3.三角不等式la+Bl≤la+
定义5.1.2 2 2 2 1 2 , . n a a a 非负数 称 长度(或范数 量 的 ) 为向 ，记作 向量的长度具有下述性质： 1.非负性 当 0时, 0;当 0时, 0; 2. 齐次性 ; 3. 三角不等式 . 二、向量的长度及性质