第一章函数与极限1.自变量趋于有限值时函数的极限1）中巴时函数极限的定义如果在区一X。的过程树对应的函数值x)无限接近于确定的数值那么叫做函数当时的极限如何描述[f(x) - A/ < E?2问题：如何用数学语言描述这个极限过程？JAx2 - 12观察函数f(x)在时的趋向x-1(x - 1)(x +1)f(x)=x+1,x±10xx-1第三节函数的极限
第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 1. 自变量趋于有限值时函数的极限 如果在x→x0的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于确定的 数值ᵼ, 那么ᵼ叫做函数ᵼ(ᵼ)当ᵼ→ᵼ时的极限 ᵼ . 1）ᵼ→ᵼ0 时函数极限的定义 |f(x) − A| < ε ε 观察函数 在ᵼ→ᵼ时的趋向 如何用数学语言描述这个极限过程？ 如何描述 ？ 问题：
第一章函数与极限启示：f(x)在某点的极限与函数在该点是否有定义无关用0<lx-xol<表示x→x的过程66XXo- 6XoXo+ 6点Xo的去心6邻域，6体现x接近×。程度，注邻域和去心邻域Us(a) = (xlx -al < 8}称为点a的6邻域：Us (a) = (x]0 < [x -al <8)点a叫做这邻域的中心，6叫做这邻域的半径，第三节函数的极限
第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 启示: f(x)在某点的极限与函数在该点是否有定义无关. 用 x0 − δ δ 点x0的去心δ邻域, δ体现x接近x0程度. x0 x0 + δ x δ 邻域和去心邻域 称为点a的δ邻域 . 点a叫做这邻域的中心, δ叫做这邻域的半径 . 注 第三节 函数的极限 第一章 函数与极限
第一章函数与极限设函数f(x）在点的某去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数口使得当x满足不等式0<[x-xol<时,对应的函数值都满足不等式定义If(x) - Al <e,则称常数A为函数当时的极限，记作lim f (x)=A或 f(x)→A(当x→ xo)X→xo“6"定义lim f (x) = AV O, 0, 当×EU(xo,) 时, 有x-xoI f(x) - A/< ε.第三节函数的极限
第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 定义 (不论它多么小), 设函数 f(x) 在 点 ᵼ0 的某去心邻域内有定义, 则称常数 A为函数 当 ᵼ→ᵼ0 时的极限, 或 常数A, 记作 如果存在 对于任意给定的正数ε 总存在正数 ᵼ, ᵼ(ᵼ) 都满足不等式 ᵼ(ᵼ) 对应的函数值 ∀ᵼ> 0, ∃ᵼ> 0, 当 时,有 “ε − δ” 定义
第一章函数与极限注1.函数极限与f(x)在点Xo是否有定义无关：2.6与任意给定的正数ε有关，3.几何解释：yk当x在Xo的去心6邻域时函数手f(x）y-f(x)A+e图形完全落在以直线y=A为中心线宽为2=的带形区域内，A-E0X00XoX0+x这表明：极限存在>函数局部有界第三节函数的极限
第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 注 1.函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关; 2.δ与任意给定的正数ε有关. 3. 几何解释: 当x在x0的去心δ邻域时,函数ᵼ= f(x) 图形完全落在以直线y = A为中心线, 宽为2ε的带形区域内. 这表明: 极限存在 函数局部有界
第一章函数与极限例1证明lim C = C (C为常数).x-xo证：If(x)-A|=IC-CI =0故V>0,对任意的>0,当0[xxol时,总有ICCl=0<成立.因此 lim C = C.X→Xo例2证明limx=xo.x→xo证: If(x)-A|=[x- xol, 对 V>0,取6=E,当0<xxol<时,总有lx-xol<成立因此limx=xo.X→Xo第三节函数的极限
第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 例1 证明 (C为常数). 证 = 0,故∀ε > 0,对任意的δ > 0, 当 因此 总有 成立. 例2 证明 证 对 ∀ε > 0,取δ = ε, 当 因此 总有 成立