第五节极限运算法则一、无穷小运算法则极限的四则运算法则三、求极限方法举例四、复合函数的极限运算法则
第五节 极限运算法则 一、无穷小运算法则 二、极限的四则运算法则 三、求极限方法举例 四、复合函数的极限运算法则
第一章函数与极限本节符号说明本节中的部分定理和推论，虽以记号“lim"呈现，但对于自变量的各种变化过程都是成立的在论证时，只证明了x一x的情形，对于x一→>0时的证明，类似可证．例如：只要把改成X，把0<xxo<改成x>X即可.第五节极限运算法则
第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 本节符号说明 本节中的部分定理和推论，虽以记号“lim”呈 现，但对于自变量的各种变化过程都是成立的. 在论证时，只证明了x→x0的情形，对于x→∞时 的证明，类似可证. 例如∶ 只要把δ改成X，把0<|xᵼ x0 |<δ改成 |x|>X 即可
第一章函数与极限一、无穷小运算法则定理1两个无穷小的和还是无穷小，证考虑两个无穷小的和.设α=α(×)，β=β(×)都为无穷小则Elim α=0→0,>0,当 0<lx-xol<1 时,有lαl <2X-Xowlim β=0→0, >0, 当0< Ix-xol <2 时,有Iβl <2x-xo取=min81,82},则当0<lx-xol<时,有<+口=口因此 ,m(α + β) = 0. lα+β≤αl+Iβl2 2得证这说明当时，口为无穷小量类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小第五节极限运算法则
第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 一、无穷小运算法则 定理1 两个无穷小的和还是无穷小 . 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 证 考虑两个无穷小的和. ∀ᵼ> 0, 当 当 取 则当 因此 这说明当 ᵼ→ᵼ0 ᵼ+ ᵼ 为无穷小量 . ∃ᵼ1 > 0, ∃ᵼ2 > 0, < ᵼ 2 + ᵼ 2 = ᵼ. ∀ᵼ> 0, 设α = α(x), β = β(x)都为无穷小,则 得证. 第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限
第一章函数与极限提问：定理中的有限改为无限，结论还成立吗？答案例如：不一定成立111112. lim=?1. lim=?+n222n22n2n2n-8n-00n2n1113. lim=?82h2n2n-→00n3个结论：无限个无穷小之和不一定是无穷小！第五节极限运算法则
第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 不一定成立. 答 案 例如: 结论: 无限个无穷小之和不一定是无穷小! 0 1 ∞
第一章函数与极限定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小，（常用）证设u=u(x)有界α=α(x)为无穷小u有界→Vx E U (xo, S1),有lul≤M.lim α=0—→0, >0,当× (xo, 82)时,有lαl≤Mx-xo取=min[81，82),则当u(口时,就有[uαl =ulα|≤口故limuα=0,即是时的无穷小，得证X→x0推论1常数与无穷小的乘积是无穷小推论2有限个无穷小的乘积是无穷小第五节极限运算法则
第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（常用） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 证 当 取 则当 故 即 是 时的无穷小. ≤ ᵼ⋅ ᵼ ᵼ = ᵼ, ∀ᵼ> 0, ∃ᵼ2 > 0, ᵼ ᵼ→ᵼ0 u有界 有 设u = u(x)有界,α = α(x)为无穷小. 得证. ᵼ∈ (ᵼ0 , ᵼ)