第五节函数的微分一、微分的定义可微的条件三微分的几何意义四、微分公式与微分运算法则五、微分在近似计算中的应用
第五节 函数的微分 一、微分的定义 三、微分的几何意义 五、微分在近似计算中的应用 二、可微的条件 四、微分公式与微分运算法则
第二章导数与积分一、微分的定义引例正方形金属薄片受热后面积的改变量(Dr)设边长由变到+口：正方形面积A=xo2,： （+一中A=Xa=2（(2)(1)(1)：的线性函数且为的主要部分；(2)：△x的高阶无穷小，当|△x很小时可忽略第五节函数的微分
第五节 函数的微分 第二章 导数与积分 一、微分的定义 引例 正方形金属薄片受热后面积的改变量. (1) (2) 设边长由ᵽ0变到ᵽ0 + ,ᵽ ᵽ ᵽ ∴ ᵽ= (ᵽ0 + ᵽ) 2 − ᵽ2 0 = 2ᵽ0 ⋅ ᵽ+ (ᵽ) 2 . ᵽ0 ᵽ ᵽ0 ᵽ (1): ᵽ的线性函数,且为ᵽ的主要部分; (2):
第二章导数与积分微分定义设函数手0在某区间内有定义及+在这区间内如果（+口（=0成立（其中是与无关的常数）则称函数在点日可微，并且称A△x为函数y=f（x）在点x相应于自变量增量△x的微分，记作dyl或df(xo），即dyl= A·△x.微分四做函数增量的线性主部，（微分的实质）第五节函数的微分
第五节 函数的微分 第二章 导数与积分 微分定义 (微分的实质) 如果 设函数ᵽ= ᵽ(ᵽ)在某区间内有定义, ᵽ0及ᵽ0 + ᵽ在这区间内, 可微， ᵽ= ᵽ(ᵽ0 + ᵽ) − ᵽ(ᵽ0) = ᵽ⋅ ᵽ+ ᵽ(ᵽ) 成立(其中是与ᵽ ᵽ无关的常数),则称函数ᵽ= ᵽ(ᵽ)在点ᵽ0 微分ᵽ叫做函数增量ᵽ的线性主部. ᵽ= ᵽ0 ᵽ= ᵽ0
第二章导数与积分可微的条件定理函数在点可微的充要条件是函数0在点处可导且 ),证充分性必要性Ayf'(xo) = lim：（在点6可微，4x-0△xAy=f'(xo)+α(lim α=0)△xAX-0Ay0(4x)limA+ lim:.口中-甲△x△x=0△x4x→0线性主部高阶无穷小：（在可导且年：（在点可微第五节函数的微分
第五节 函数的微分 第二章 导数与积分 定理 一、可微的条件 证 必要性. 充分性. 线性主部 高阶无穷小 函数ᵽ(ᵽ)在点ᵽ0可微的充要条件是函数ᵽ(ᵽ)在点ᵽ0处可导, 且 ᵽ= ᵽ′ (ᵽ0). ∵ ᵽ(ᵽ)在点ᵽ0可微, ∴ ᵽ= ᵽ⋅ ᵽ+ ᵽ(ᵽ), = ᵽ ∴ ᵽ(ᵽ)在ᵽ0可导,且ᵽ= ᵽ′(ᵽ0 ). ᵽ= ᵽ′(ᵽ0 ) ⋅ ᵽ+ ᵽ⋅ (ᵽ) ∴ ᵽ(ᵽ)在点ᵽ0可微. 第五节 函数的微分 第二章 导数与积分
第二章导数与积分由上述可知：(可导→可微，且甲相口Ay - dy=0.即lim（日日是比高阶无穷小△x4x-0Ay即lim（当）≠0时与是等价无穷小=1x-0 dy(4）当|△x|很小时，dy是Ay的线性主部，即EAy1Ay = dy + o(dy) ≤ limAx-0 dy（有限增量公式（+一（）～相）口第五节函数的微分
第五节 函数的微分 第二章 导数与积分 由上述可知: (ᵽ) 可导⇔可微, 且ᵽ= ᵽ′ (ᵽ0)ᵽ. (ᵽ) ᵽ− ᵽ= ᵽ(ᵽ)是比ᵽ高阶无穷小, (ᵽ) 当ᵽ′ (ᵽ0) ≠ 0时,ᵽ与是等价无穷小 ᵽ , 即ᵽ≈ ᵽ. (ᵽ) 有限增量公式 ᵽ(ᵽ0 + ᵽ) − ᵽ(ᵽ0) ≈ ᵽ′ (ᵽ0)ᵽ. 第五节 函数的微分 第二章 导数与积分