第八节常系数非齐次线性微分方程一、定义二、 f(x) = eaxPm(x)型三、 f(x) = eax[Pi(x) cosw x + Qn(x) sin w x]型
第八节 常系数非齐次线性微分方程 一、定 义
第七章微分方程一、 定义形如y"+py+qy=f(x）（pq是常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程+y非齐次通解=齐次通解通解的结构：非齐次特解第7节已解决难点问题难点：如何求特解？针对f(x）的特殊形式方法：行待定系数法给出特解*的待定式代入原方程确定待定系数第八节常系数非齐次线性微分方程
第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 第7节已解决 一、 定义 的方程称为二阶常系数 难点: 如何求特解？ 方法: 待定系数法. 非齐次线性微分方程. 难点问题 通解的结构: 形如 y ″ + py ′ + qy = f(x) (p,q是常数) 针对f(x)的特殊形式, 代入原方程确定待定系数. 非齐次通解 齐次通解 非齐次特解
第七章微分方程二、 f(x) =eix Pm(x)型y"+py'+qy=exPm(x)，2是实数，Pm(x)是m次多项式.设方程的特解为y*=R(x)eαx，R(x)是待定的多项式.: y* = R(x)eax,y* = eax[a R(x) + R'(x)]y*" = eax[22 R(x) + 2a R'(x) + R"(x)]代入方程，并消去eax，得R'(x) + (2> +p)R(x) + (22 + p2 + q)R(x) = Pm(x).第八节常系数非齐次线性微分方程
第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 二、 λ是实数, Pm(x)是m次多项式. R(x)是待定的多项式. R″ (x) + (2λ + p)R′ (x) + (λ 2 + pλ + q)R(x) = Pm(x)
第七章微分方程R"(x) + (2a +p)R'(x) + (a2 +pA+ q)R(x) = Pm(x).1.当不是特征根时，2+p+0使上式成立R(x)应是m次多项式，故特解的形式为y* = Rm(x)ex而2.当是特征方程的单根时，+0使上式成立R(x)应是m+1次多项式，故特2十送0解的形式为y* = xRm(x)eax第八节常系数非齐次线性微分方程
第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 ᵱ 2 + ᵱ+ ᵱ= 0 使上式成立 故特解的形式为 而 故特 解的形式为 λ 2 + pλ + q ≠ 0 2ᵱ+ ᵱ≠ 0
第七章微分方程R"(x) + (2> + p)R(x) + (a2 + p> +q)R(x) =Pm(x) .3.当是特征方程的重根时22++q=0且2>+p=0使上式成立R(x)应是m+2次多项式，故特解的形式为y* = x?Rm(x)eax第八节常系数非齐次线性微分方程
第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 且 故特 解的形式为 R″ (x) + (2λ + p)R′ (x) + (λ 2 + pλ + q)R(x) = Pm(x) . λ 2 + pλ + q = 0 2λ + p = 0