第九节连续函数的运算与初等函数的连续性、四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
第一章函数与极限一、四则运算的连续性定理1若函数f(x),g(x)在点xo处连续，则f(x)g(x),f(x)·g(x)f(x(g(xo)+0)在点x.处也连续g(x)例1： sin x,cos x 在(o,+o)内连续sin xcos x.. tan x =cotxAsin xcos x元3元0元x22211sec x =CSCxsin xcos x在其定义域内都是连续的第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 一、四则运算的连续性 例1 定理1 在其定义域内都是连续的
第一章函数与极限反函数与复合函数的连续性定理2连续单调递增(递减)函数的反函数也连续单调递增(递减）例2：y=sinx在[-2·2]上单调增加且连续,：y=arcsinx在[-1,1]上也是单调增加且连续；同理口y=arctanx1Y=arccosx在[-1,1]上单调减少且连续0.5Y= arctan x,1口-2-12□1-0.5Y=arccotx在[一oo,+oo]上单调且连续-1结论反三角函数在其定义域内皆连续第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 二、反函数与复合函数的连续性 连续单调递增 函数的反函数 例2 -2 -1 1 2 1 0.5 ᵆ ᵆ -0.5 -1 y = arctan x (递减) 也连续单调递增(递减). 结论 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理2 ᵆ
第一章函数与极限定理3设函数y=f[g(x)l由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，limg(x)=uo,函数f(u)在点u.连续,则有x-limf[ g(x)]=f (limg(x).对于x→80情形类似可证X→证：f(u)在点u=u连续: >0,日n>0,当|u-uol<时, 有|f (u)-f(uo)/<又：limg(x)=uo，对于n>0,s>0,当0<|x-xol<s时X→x有|g(x)-uol<n,因而|f[g(x))-f(uo)/<e,故 lim f[g(x)]=f(uo)=f[limg(x)]注定理3表明在一定条件.函数符号f与极限符号可交换第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 证 注 定理3
第一章函数与极限x-3求lim例3x2 -9x-3x-3x-3解复合而成可看做由y=vu与uL:y:x2- 9+2O11x-3x-3limlim:lim6'x-3x29x-3x+3一x-3 (x + 3)(x - 3)1y=Vu在=处连续，61V6x-3x-3.. limlimx-3x266x299X3V第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 例3 解 求