第四节有理函数的积分第4章·基本积分法：直接积分法：换元积分法分部积分法求导·初等函数初等函数积分本节内容有理函数的积分一可化为有理函数的积分举例二下页返回
第4章 第四节 有理函数的积分 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 本节内容:
有理函数的积分一、有理函数.n-12P(x)+aix+...+anaoxR(x) =box" +byxm-I +...+bmQ(x)mm≤n时,R(x)为假分式;m>n 时,R(x)为真分式有理函数真分式多项式+相除分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为AMx+N(keN+,p2 - 4q<0)(x-a)k(x-+px+q)目录上页下页返回结束机动
一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1 有理函数: m n 时, 为假分式; m n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( N , 4 0 ) 2 − + k p q 若干部分分式之和
例1.将下列真分式分解为部分分式：11x+3(1)3(2)x(x-1)?(1+ 2x)(1+ x2)x2-5x+6解：（1）用拼凑法11x-(x-1)x(x-1)2x(x -1)2(x-1)2x(x-1)1x-(x-1)(x -1)2x(x-1)17(x-1)xx-j目录上页下页返回结束机动
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x − ( x −1) x − ( x −1)
(2)用赋值法Bx+3x+3Zx?-5x+6x-3(x-2)(x-3) x-2x+3A=(x-2)·原式X-3|x=2 =-5x=2x+3=6B=(x-3)·原式x-2/x=3x=36原式=-5故x-2x-3上页目录下页返回结束机动
(2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B A = ( x − 2) 原 式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = ( x − 3) 原 式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x
(3）混合法Bx+ CA(1 + 2x)(1+ x2)1+2x1+xA=(1+2x)·原式X分别令x=0,1代入等式两端N+C54B+C十215642x-11原式5L1+2x1+x2上页目录下页返回结束机动
(3) 混合法 = (1+ 2 )(1+ ) 1 2 x x + + x A 1 2 2 1 x Bx C + + A = (1 + 2 x) 原 式 2 1 x = − 5 4 = = + C 5 4 1 15 2 4 6 1 B + C = + 5 2 B = − 5 1 C = 原式 = 1 2x 4 5 1 + + − − 2 1 2 1 x x