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第3章 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 洛必达法则
函数的性态一微分中值定理导数的性态本节研究：0f(x)8或，lim二型)函数之商的极限0g(x)8转化洛必达法则f'(x)导数之商的极限limg'(x)目录上页下页返回结束机动
微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则
O1型未定式0定理 1.1) lim f(x)= lim F(x)= 0x>axva2) f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F'(x)±0f'(x)3)lim存在（或为80）x-→>a F(x)1(a)= lim ['(a)→> lim :（洛必达法则）x→a F(x) x-aF'(x)目录上页下页返回结束机动
一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导, 定理 1. 型未定式 0 0 (洛必达法则)
定理条件：1)limf(αx)=limF(x)=0x-ax->aO2）f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F(x)±0f(x)lim3)存在（或为）x-a F'(x)证：无妨假设 f(α)=F(α)=0,在指出的邻域内任取x≠a,则f(x),F(x)在以x,α为端点的区间上满足柯西定理条件，故f(x) _f(x)-f(a) -f()（在x，a之间）F(x) F(x)-F(a) F'()f'(x)f(x)f'(E)3)limlim.limF'(x)x->aF(x)x→aF()x-a目录上页下页返回结束机动
( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 f (a) = F (a) = 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = ( ) ( ) lim F f x a = → 3) 定理条件: 西定理条件, ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) 2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
f(x)f'(x)limlim洛必达法则x->aF'(x)x->aF(x)推论1.定理1中x→α换为xa.xa.x.x+x-0之一，条件2）作相应的修改，定理1仍然成立f'(x)0推论 2. 若 lim仍属型，且f(x）,F(x）满足定F'(x)0理1条件，则f(x)f(x)(xlimlimlimF(x)F'(x)F"(x)目录上页下页返回结束机动
推论1. 定理 1 中 x → a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → + , 洛必达法则