第二节 微积分的基本公式第5章一、引例二、积分上限的函数及其导数三、牛顿一莱布尼兹公式下页返回
第5章 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 第二节 微积分的基本公式
一、引例在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有关系s'(t) = v(t)物体在时间间隔[T，T]内经过的路程为v(t)dt = s(T2) - s(T)T这里s(t)是v(t)的原函数这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性目录上页下页返回结束机动
一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( ) d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
二、积分上限的函数及其导数定理1.若f(x)EC[a,b]l,则变上限函数f(x)YE=VΦ(x)=[,f(t)dt(x是f(x)在[a,b]上的一个原函数ObxaXE证：Vx,x+he[a,b],则有x+hΦ(x + h)-Φ(x)cx+hf(t)dt-f'f(t)dt )hnIx+hVf(t)dt=f(E) (x<=<x+h)-hXe:f(x)eC[a,b]Φ(x+h)-Φ(x)= lim f()= f(x)... Φ'(x)= limhh-0h>0上页目录下页返回结束机动
y = f ( x) a b x o y (x) x x + h 二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数 = x a (x) f (t) d t 证: x , x + h [a , b] , 则有 h (x + h) − (x) h 1 = − + x a x h a f (t) d t f (t) d t + = x h x f t t h ( ) d 1 = f ( ) ( x x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim ( ) 0 f h→ ( x) = = f ( x) 定理1. 若
说明：1）定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路f'f(t)dt=-f(x)2）变限积分求导dxdp(x)·f(t)dt= f [p(x)lp'(x)dxa0p(x)drp(x)[a),f(t)dtf(t)dt+f(t)dt =dxJy(x)a= f [(x)]@'(x)- f [y(x)]y(x)目录上页下页返回结束机动
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导: ( ) ( ) d d d x a f t t x = f [ ( x) ] ( x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . ( ) ( ) ( ) d d d x x f t t x = f [ ( x) ] ( x) − f [ ( x) ] ( x) + = ( ) ( ) ( ) d ( ) d d d x a a x f t t f t t x
dt000limcos.x例1. 求七->0o-cos~x(-sinx) =-lime解:原式2e2xx-0确定常数α,b，c的值,使例2.ax-sinx010lim=C (c±0)['ln(I+t)d tx00解:：x→0时,ax-sinx→0,c±0,b=0a-cosxa-cosx原式= lim= lim=C克x→0 In(1 + x2)X-0c,故 α=1.又由1-cosx～x2,得 =上页目录下页返回结束机动
( sin ) 2 cos e x x − − 例1. 求 解: 原式 0 lim → = − x 0 0 2x 2e 1 = 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解: b = 0. 原式 = c ≠0 , 故 a = 1. 又由 ～ , 得 . 2 1 c =