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第3章 第七节 函数图形的描绘 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
曲线的渐近线一、定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时，点M与某一直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线y= f(x)或为“纵坐标差M=kx+bPN例如，双曲线bX二=0有渐近线hO但抛物线V=x无渐近线目录上页返回结束机动下页
无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 一、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 = 0 b y a x 但抛物线 或为“纵坐标差” N L y = k x + b M x y o C y = f ( x ) P x y o
1.水平与铅直渐近线y=b若 lim f(x)=b,则曲线 y=f(x)有水平渐近线x+0(或x→-)若 lim f(x)=0,则曲线 y=f(x)有垂直渐近线 x= Xo X-→X0(或x→x)例1.求曲线y=+2的渐近线x-1解：：lim+-0 x-1：y=2为水平渐近线2）=00，：x=1为垂直渐近线lim(x-1 x-1目录上页下页返回结束机动
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 y = b. (或 x → −) 若 则曲线 有垂直渐近线 . 0 x = x ( ) 0 → − 或 x x 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 2) 2 1 1 lim ( + = x→ x − y = 2 为水平渐近线; 2) , 1 1 lim( 1 + = x→ x − x = 1 为垂直渐近线. 2 1
2.斜渐近线（P75题13)若 lim [f(αx)-(kx+b)]=0, 则曲线y=f(x)有X+00斜渐近线y=kx+b(或x→8)lim [f(x)-(kx +b)]=0bf(x)x>+00k = limxxX→+06f(x)lim1=0f(x)k = limxxX-→+00xX→+00一(或x→-00)hf(x)limb= lim [f(x)-kx]k--1=0xxx→+00X→+8(或x→-0)上页机动目录下页返回结束
2. 斜渐近线 斜渐近线 y = k x + b . (或 x → −) 若 (k x + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x x (k x + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x ] ( ) lim [ x b x f x k x = − →+ x f x k x ( ) lim →+ = b lim [ f (x) k x] x = − →+ (或 x → −) (或 x → −) ( P75 题13)
Y例2.求曲线的渐近线y== x? +2x-34解：：y=lim y=00(x + 3)(x - 1)X-→-3y=x- 2x(或x→l)所以有铅直渐近线x=-3及 x=1Xf(x)又因k = limlim=12x→0 x~ +2x -3xX-0-2x2 +3x=-2b = lim[f(x)-x] = limx→00 x2 + 2x-3x-00y=x-2为曲线的斜渐近线目录上页下页返回结束机动
例2. 求曲线 的渐近线 . 解: , ( 3)( 1) 3 + − = x x x y lim , 3 = →− y x (或 x → 1) 所以有铅直渐近线 x = −3 及 x = 1 又因 x f x k x ( ) lim → = 2 3 lim 2 2 + − = → x x x x b lim [ f (x) x] x = − → 2 3 2 3 lim 2 2 + − − + = → x x x x x y = x − 2为曲线的斜渐近线 . − 3 1 y = x − 2