第二节数量积向量积*混合积第6章一、两向量的数量积二、两向量的向量积*三、向量的混合积下页返回
第6章 *三、向量的混合积 第二节 数量积 向量积 *混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
两向量的数量积一、引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0位移为，则力F所做的功为的直线移动，W =|F 3|cos 01.定义0M2MS设向量a.b的夹角为0，称记作a.b[aib|cos0W=F.s为a与b的数量积（点积)目录上页下页返回结束机动
M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s = M 2 a b 为a与b的 a , b s
当a+o时,b在a上的投影为记作1 6|cos 0:Prj.b610故a.b=aPrjaba同理，当60时a.b=bPrjsaa+0,6+02.性质则a.b=0(1) a.a=al211(2）,6为两个非零向量,则有元a.b=0alb(a,b)=12目录上页下页返回结束机动
b 在 a 上的投影为 记作 故 同 理 ,当 0 时, b 2. 性质 为两个非零向量, 则有 b a b Prj a b = a b a Prj (1) a a = (2) a , b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a 0 , b 0
3.运算律(1）交换律 a.b=b.aba结合律（,μ为实数）(2)(a+b)(aa).b=a.(ab)=a(a.b)c(aa)·(μb) =z(a.(μb))Prjea Prj.b=πμ(a.b)Prje(a+b)（a+b)c=a.c+b.c(3）分配律事实上，当=时，显然成立；当0时(a+b) =|Prj,(a+b)=|l(Prjea+ Prj:)=|Prjea+cPrjeb =a. +b.c目录上页下页返回结束机动
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a ) ( b ) = ( a ( b ) ) = ( a b ) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c ( a + b ) b a b c a Prj c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Pr j + Pr j a c = c Prj b c + c Prj = a c + b c Prj ( a b ) c +
例1.证明三角形余弦定理c?= a?+ b2 - 2abcos0-6证：如图.设CB=a, CA=b, AB=cC则ac=a-bBz =(a-b)(a-b)=a.a +b.b-2a.b=+-2al|cos0α=|a],b=|b],c=c2 =a?+b?-2abcos0目录上页下页返回结束机动
A B C a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − a b 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − a b 如图 . 设 C B = a , C A = b , AB = c = 2 c ( a − b ) ( a − b ) = a a + b b − 2 a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c