四种典型部分分式的积分dx= Aln x-α+C一aA4-a)-n +C (n±1)dxx一(x-a)n-nMx+N3dx变分子为x? + px+q(2x+ p) +N_ MpMx+Ndx再分项积分(x? + px +g)n(p2-4g<0,n±l)目录上页下页返回结束机动
四种典型部分分式的积分: = A ln x − a + C x a C (n 1) n A n − + − = 1− ( ) 1 − x x a A 1. d − x x a A n d ( ) 2. + + + x x px q M x N 3. d 2 + + + x x px q M x N n d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M + 2 M p + N − 再分项积分
dx例2. 求(1+ 2x)(1+ x2解：已知2x4(1+2x)(1+x2) =5L1+2x 1+x+.2 (d(1+ 2x)1 rd(1 + xdx原式1+2x1+x221n|1+2x-=In(1+x2)+2arctanx+C目录上页下页返回结束机动
例2. 求 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x = 5 1 1 2x 4 + 2 1 2 x x + − + + 2 1 1 x + + = x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式 + + − 2 2 1 d(1 ) 5 1 x x + + 2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2 = + ln (1 ) 5 1 2 − + x + arctan x + C 5 1
x-2例3.求dx.x2+2x+31(2x+ 2)-3解：厂原式dxx2+2x+3rd(x2 + 2x+3)d(x + 1)x2+2x+3(x +1)2 +(/2)2x+11n|x2 +2×+ 3+CarctanN2V2x-2dx?思考：如何求3(x2 +2x+3)提示：变形方法同例3，并利用P209例9目录上页下页返回结束机动
例3. 求 解: 原式 x x x d 2 3 2 + + = (2 2) 3 2 1 x + − + + + + = 2 3 d( 2 3) 2 1 2 2 x x x x ln 2 3 2 1 2 = x + x + + + + − 2 2 ( 1) ( 2) d ( 1) 3 x x C x + + − 2 1 arctan 2 3 思考: 如何求 提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9
说明：将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行但不一定简便，因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法+2x~+5x+5例4.求I =dxx +5x2 +42x~+52x+5x解:I=dx +dx福+5x2 + 4+5x2+4+1)+(x+4d(x*+5x~+5)xdxx4 +5x2+4(x2 + 1)(x2 + 4)X=In x4+ arctan x +Carctan一22目录上页下页返回结束机动
+ + + x x x d ( 1)( 4) 2 2 ( 1) ( 4) 2 2 x + + x + 例4. 求 + + + = x x x x x I d 5 4 2 5 4 2 3 + + + + x x x x d 5 4 2 5 4 2 2 + + + + = 5 4 d ( 5 5) 2 1 4 2 4 2 x x x x ln 5 4 2 1 4 2 = x + x + 2 arctan 2 1 x + + arctan x + C 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法