第四节反常积分第5章积分限有限常义积分被积函数有界推广反常积分（广义积分）一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分下页返回
第5章 二、无界函数的反常积分 第四节 反常积分 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分引例.曲线：和直线x=1及x轴所围成的开口曲V=中边梯形的面积可记作A="其含义可理解为dxblimA= limAJb-→+8b->+0人= limb→+8目录上页下页返回结束机动
一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 2 1 x y = A 1 可记作 + = 1 2 d x x A 其含义可理解为 → + = b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim = − → + = − b→ + b 1 lim 1 = 1
定义1.设f(x)eC[a,+o0),取b>α,若-blim (~f(x)dxb-+oJa记作存在，则称此极限为f（x）的无穷限反常积分cbtdf(x)dx= limn /f(x)dxb+ooJa+8这时称反常积分f(x）dx收敛：如果上述极限不存在Ja+8就称反常积分f(x)dx发散Ja类似地，若f(x）EC（-0,bl，则定义.6J-f(x)dx= lim f(x)dxa-0a目录上页下页返回结束机动
定义1. 设 f ( x) C [a , + ), 取 b a , 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f ( x) C (− , b], 则定义
若 f(x)EC(-80,+o0),则定义cbf[- f(x)dx = lim(f(x)dx+ limf(x)dxa--Jab→+Jc（c为任意取定的常数）只要有一个极限不存在，就称f(x)dx发散无穷限的反常积分也称为第一类反常积分说明：上述定义中若出现180-80,并非不定型它表明该反常积分发散目录上页下页返回结束机动
若 f ( x) C (− , + ), 则定义 f x x c a a lim ( ) d → − f x x b b c lim ( ) d → + + ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现 − , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散
若F(x)是f(x）的原函数，引入记号F(+oo)= lim F(x); F(-oo)= lim F(x)X→+X→-00则有类似牛一莱公式的计算表达式+8= F(+o0)- F(a)f(x)dx= F(x)ab["m f(x)dx = F(x)= F(b)- F(-00)18+8[- f(x)dx = F(x)= F(+)- F(-8)18目录上页下页返回结束机动
引入记号 F ( ) lim F ( x) ; x→ + + = F ( ) lim F ( x) x→ − − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( ) d + = F ( x) = F (+ ) − F (a) f x x b ( ) d − = F ( x) = F (b) − F (− ) f (x) dx + − = F ( x) = F (+ ) − F (− )