第三节泰勒公式第3章理论分析用多项式近似表示函数一应用近似计算一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用返回下页
第3章 二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 泰勒公式 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算
泰勒公式的建立一、在微分应用中已知近似公式y= f(x)f(x)= f(xo)+ f'(xo)(x -xopi(x)p,(x)x的一次多项式+x特点: Pi(xo)= f(xo)Xo x以直代曲pi(xo)= f'(xo)如何提高精度需要解决的问题如何估计误差?目录上页下页返回结束机动
特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x 一、泰勒公式的建立 f ( x ) x y y = f ( x ) o ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x + f x x − x 以直代曲 x0 ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式
1.求n次近似多项式Pn(x）要求：Pn(xo)= f(xo), P(xo) = f(xo), ..,p(m)(xo)= f(n) (x0)Pn(x)= ao+ ai(x -xo)+a2(x - xo)? + ...+an(x - xo)令a+2a2(x-xo)+..+nan(x-xo)n-1则pn(x) =2!a2 + ..+n(n -1)an(x - xo)n-2pn(x) =n!anp(")(x) =ao = pn(xo)= f(xo)ai = pn(xo)= f(o)a2 =P"(xo)="(xo), . ,an=pmm)(xo)= f(n)(xo)故 Pn(x)= f(xo)+ f'(xo)(x - xo)+ 2f"(xo)(x - xo)?+ .+ f(n)(xo)(x- xo)目录上页下页返回结束机动
1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n = ( ), 0 = f x , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f x x − x + 2! 1 ! 1 n n n f ( x ) ( x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f ( x ) ( x − x ) 2! 1 令 pn ( x) = 则 pn ( x) = pn ( x) = n p (n) ( x) = n!a n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n = ( ), 0 = f x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n n a x x 2 2 !a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n n n a x x a0 n n a ( x x ) a ( x x ) a ( x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 + + −
2.余项估计令R,(x)= f(x)- P,(x)(称为余项)，则有R,(xo)= R′(xo) = ... = R(n)(xo)= 0R,(x)(x-xo)n+iR'(E)Rn(x)- R,(xo)(5i在x与x之间）(x-xo)n+1- 0 ((n + 1)(51 - xo)R"(52)R,(1) - R'(xo)(52 在xo与(n+ 1)(5i - xo)"- 0 (n+ 1)n(52 - xo)"-1I1之间)..R("(E,)- R"(xo) _ R(n+)(E)（在xo与x之间）(n+1)...2(5n - xo)- 0(n+l)!上页目录下页返回结束机动
) 0 ( 在 x 与 n 之 间 ( ) ( ) 1 0 + − = n nx x R x ( 1) 2( ) ( ) 0 ( ) n x R n n nn + − = 2. 余项估计 R ( x) f ( x) p ( x) 令 n = − n (称为余项) , ( ) 0 R x n ( ) 0 R x n = ( ) 0 0 ( ) = = R x = n n 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + − = ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R+ − = 1 2 0 2 ( 1) ( ) ( ) − + − = n n n n x R = ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R nn 则有 ( ) 0 R x − n − 0 ( ) 0 R x n − − 0( ) 0 ( ) R x n − n − 0 x ) 1 0 ( 在 x 与 x 之 间) 12 0 ( 之间在 与 x
Rn(x)= f(x)- pn(x)R(n+1)(5)R,(x)(在xo与x之间）(x-xo)n+1(n+1)!(n+1)(x)=0, :. R(n+1)(x)= f(n+)(x)2f(n+)(E)(x-x0)n+1R,(x)=(在x。与x之间)(n +1)! / f(n+I)(x)|≤M 时当在xo的某邻域内Mn+1[R,(x)/≤x-Xo(n + 1)!: Rn(x) = o((x - xo)")(x→ Xo目录上页下页返回结束机动
R ( x) f ( x) p ( x) n = − n ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ( ) 0 , ( 1) = + p x n n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 当 在 x0 的某邻域内 f ( n+1) ( x) M 时 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 1 0 ( 1)! ( ) + − + n n x x n M R x ( ) ( ( ) ) ( ) 0 0 R x o x x x x n n = − →