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第5章 第一节 定积分的概念及性质 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
一、定积分问题举例h矩形面积=ahh梯形面积==(a+b)bCh1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线Vy= f(x)y=f(x) (f(x)≥0)A=?及x轴，以及两直线x=a,x=b0所围成，求其面积A，ba目录上页下页返回结束机动
一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . A = ? y = f ( x ) 矩形面积 梯形面积
解决步骤：1）大化小在区间[a，b]中任意插入n-1个分点a = Xo < Xi < X2 <..<Xn-1 < Xn = b用直线x=x将曲边梯形分成n个小曲边梯形2)常代变。在第i个窄曲边梯形上任取iE[xi-1，xi]V作以[xi-1,x,]为底，f(并以此小为高的小矩形，梯形面积近似代替相应oaxbxXi-1 XiAi,得窄曲边梯形面积5iAA, = f(S)Axi(△xi = Xi - Xi-1i=1,2,.,n目录上页返回结束机动下页
1 x i x i−1 a x y o 解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b = 0 1 2 n−1 n = [ , ] i i 1 i x x − 用直线 i x = x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 [ , ] i 1 i x x − 为底 , ( )i f 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 ( ) ( ) i i i i = i − i−1 A f x x x x i
3）近似和nnA=ZAA; ~Zf(E)Axii=1i=-14）取极限.令元=max△x则曲边梯形面积l<i<nnA= limAA1-0i=1nEJlimf(E)Axi10oaxi-1bxXi-1 XiSi目录上页下页返回结束机动
3) 近似和. = = n i A Ai 1 = n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限.令 则曲边梯形面积 → = = n i A Ai 1 0 lim → = = n i i i f x 1 0 lim ( ) a y o 1 x i x i−1 x i
2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动已知速度 =v(t)EC[T,T], 且v(t)≥0，求在运动时间内物体所经过的路程s解决步骤：1)大化小.在[T，T]中任意插入n-1个分点，将它分成n个小段【ti-1,t,](i=l,2,",n),在每个小段上物体经过的路程为 △si(i=l,2,.",n)2)常代变任取;[ti-1,ti]，以v(s)代替变速，得△s, ~ v(E)Ati(i=l,2,.".,n)目录上页下页返回结束机动
2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 大化小. 将它分成 在每个小段上物体经 2) 常代变. 得 i i i s v( )t (i = 1, 2, , n) 已知速度 n 个小段 过的路程为