《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第2章 导数与微分 第五节 函数的微分

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第2章 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第五节 函数的微分 一、微分的概念

一、微分的概念引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由xo变到xo+△x，问此薄片面积改变了多少？设薄片边长为x，面积为A，则A=x2，当x在xo取得增量△x时，面积的增量为XoAxXAxA= (xo +Ar)? -x?= 2xoAr +(Ar))2xoAxA=xoXo关于△x的△x→0时为线性主部高阶无穷小故A~2xoAx称为函数在xo的微分目录上页下页返回结束机动

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小  x → 0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其

定义：若函数V=f(x）在点Xo的增量可表示为△y= f(xo +Ax)- f(xo) = A△x + o(△x)（A为不依赖于△x的常数）则称函数 = f(x)在点xo可微,而 A△x 称为f(x)在点xo的微分，记作dy或df，即dy= AAx定理：函数y=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导,且A=f(xo）,即dy= f'(xo)Ax目录上页下页返回结束机动

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f ( x) 而 A  x 称为 记作 即 d y = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 d y = f ( x )x 0 在点 可微

定理：函数V=f(x）在点Xo可微的充要条件是y=f(x）在点xo处可导，且A=f(xo），即dy = f'(xo)△x证：“必要性”已知y=f(x）在点Xo可微，则△y= f(xo + △x)- f(xo) = A△x + o(△x)o(△x)A= lim(A+limAxAx-0 △xAx→0故y=f(x）在点xo的可导，且f(xo）=A目录上页下页返回结束机动

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 d y = f ( x )x 0

定理：函数V=f(x）在点Xo可微的充要条件是y=f(x）在点xo处可导，且A=f(xo），即dy = f'(xo)Ax已知=f(x)在点xo的可导，则“充分性”Ay= f'(xo)limAx-0 △x=f(xo)+α（limα=0)△xAx-0故 △y= f'(xo)△x+α△x = f'(xo)△x+o(△x)（f(xo）±0时）线性主部即 dy= f'(xo)△x上页目录下页返回结束机动

定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 d y = f ( x )x 0 “充分性”已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 =  →  x  y = f ( x )x +  x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x  线性主部 即 d y = f ( x )x 0 在点 的可导, 则