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第6章 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
平面的点法式方程设一平面通过已知点 M。（xo，o，2。）且垂直于非零向量n=（A,B,C),求该平面II的方程n任取点M(x,y,z)eⅡI,则有LDMCMoMInO故XMoM.n=0MoM=(x - xo,- yo,z- zo)A(x - Xo)+ B(y - yo)+C(z- zo)= 0称n为平面Ⅱ的法向量称式为平面Ⅱ的点法式方程目录上页返回结束机动下页
z x y o M 0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 A x − x + B y − y + C z − z = M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点 M ( x, y, z) , 法向量. 量 n = ( A , B , C ) , M M ⊥ n 0 0 M 0M n = 则有 故 称 n 为平面 的
例1.求过三点M(2.-1,4),M2(-1,3.-2),M3(0,2,3)的平面Ⅱ的方程n解：取该平面ⅡI的法向量为n=M,M2×M,MM1M3k1Ⅱ4-6-3二-23-1=(14, 9, -1)又M,EII，利用点法式得平面IⅡI的方程14(x -2) +9(v +1) -(z -4) = 0即14x+9y-z-15=0目录上页下页返回结束机动
i j k = 例1.求过三点 , 又 M 1 = (1 4 , 9 , − 1) 即 M1 M 2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M 1M 2 M 1M 3
此平面的三点式方程也可写成说明：x-2y+1 z-44=0-63-1一般情况：过三点 Mk(xk,k,zk）（k=1,2,3)的平面方程为x-Xiy-yiZ-Z1=0X2-X1Z2 - Z12-y1X3-Xi y3-y1Z3-Z1目录上页下页返回结束机动
此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y + 1 z − 4 一般情况 : 过三点 M ( x , y , z ) (k = 1, 2 , 3) k k k k 的平面方程为 说明:
特别，当平面与三坐标轴的交点分别为ZRP(a,0,0), Q(0,b,0), R(0,0,c)时，平面方程为福O==1(a,b,c±0)此式称为平面的截距式方程分析：利用三点式X-OLC二(x -a)bc-y(-a)c+ zab = 0按第一行展开得即bcx+acy+abz=abc目录上页下页返回结束机动
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + = 1 c z b y a x 时, (a , b , c 0) ( x − a)b c − y (−a)c + zab = 0 bcx + acy +ab z = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c