第3章第五节函数的极值与最值一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题下页返回
第3章 二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与最值
函数的极值及其求法一、E定义：设函数f(x)在(a,b)内有定义，xoE(a,b)若存在xo的一个邻域，在其中当x≠xo时(1）f(x)<f(xo）,则称xo为f(x)的极大点称f（xo）为函数的极大值(2）f(x)>f(xo）,则称xo为f(x）的极小点称f（xo）为函数的极小值极大点与极小点统称为极值点目录上页返回结束机动下页
一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点
例如 (P146例4)f(x)= 2x3 - 9x2 +12x -32x=1为极大点，f(1)=2是极大值x=2为极小点，f(2)=1是极小值福12注意：函数的极值是函数的局部性质1)对常见函数，极值可能出现在导数为0或2)不存在的点X1,X4为极大点X2.Xs为极小点X3不是极值点oaxxxxbx目录上页下页返回结束机动
注意: x1 x3 4 x 2 x x5 oa b x y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 1 2 3 3 2 f x = x − x + x − 例如 (P146例4) 为极大点 , 是极大值 为极小点 , 是极小值 1 2 o x y 1 2
定理1（极值第一判别法）设函数f(x)在xo的某邻域内连续，且在空心邻域内有导数，当x由小到大通过xo时，(1)f'(x）“左正右负",则f(x)在xo取极大值(2)f(x）“左负右正",则f(x)在xo 取极小值;(自证)点击图中任意处动画播放暂停目录上页下页返回结束机动
定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在 x0 的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0 时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则 f x 在 x0 取极小值 ( ) . 则 f x 在 x0 取极大值 (自证) 点击图中任意处动画播放\暂停
的极值例1.求函数f(x）=(x-1)x3解:1)求导数 1(x)=x3 +(x-1):3×=号2）求极值可疑点令f(x)=0,得x=；令f()=00,得x2=03)列表判别2-510二+81(-8,0)Xf(x)0+-0.33f(x)其极大值为f（O=0是极大点x=0是极小点其极小值为f（）=-0.33x=C目录上页下页返回结束机动
例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 = +3 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x − x 3 5 2 3 5 x x− = 2) 求极值可疑点 令 f ( x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f ( x) = , 得 0 x2 = 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (− , 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + 是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为