第3章第一节微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理二、拉格朗日中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理下页返回
第3章 第一节 微分中值定理 一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔(Rolle）定理费马（fermat）引理y=f(x)在U(xo）有定义：>f'(xo)=0且f(x)≤f(xo), f(xo)存在V(或≥)证:设Vxo +△xeU(xo),f(xo+Ax)≤f(xo)Xox福f(xo +Ax)- f(xo)则 f'(xo)= limArAr-0f"(xo)≥0 (△x→0-)>f(xo)=0f*(xo)≤0 (△x→0+)证毕目录上页下页返回结束机动
一、罗尔( Rolle )定理 费马(fermat)引理 且 存在 (或 ) 证: 设 则 0 0 x y o 0 x 证毕
(y=f(x)罗尔（Rolle）定理y=f(x）满足(1)在区间[α,b]上连续bxEa(2)在区间（α,b)内可导(3) f(a)=f(b)在(α,b）内至少存在一点 ,使 f'（)=0V证:因f(x)在[α,b]上连续,故在[aα,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则f(x)=M,xE[a,b]因此V(a,b),f()=0上页目录下页返回结束机动
罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f ( ) = 0. x y o a b y = f ( x ) 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点
若M>m，则M和m中至少有一个与端点值不等不妨设M±f(a),则至少存在一点E(a,b),使f（）=M,则由费马引理得f（）=0注意：例如1）定理条件条件不全具备，结论不一定成立.0≤x<1x.f(x)=0,x=1xVf(x)=xf(x)=xxe[0,1]x[-1,1]+目录上页下页返回结束机动
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f ( ) = 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 1 x y o 则由费马引理得 1x y −1 o 1 x y o
2）定理条件只是充分的．本定理可推广为y=f(x）在（ab）内可导，且lim f(x)= lim f(x)x-atx-b在(α,b)内至少存在一点,使f（)=0(f(at),x=a证明提示：设F(x)=^ f(x),a<x<bf(b-),x=b证F(x)在[α，b]上满足罗尔定理上页目录下页返回结束机动
使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 = → + lim f (x) x a lim f (x) x b → − 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理