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第3章 第四节函数的单调性与及其判别 一、函数的单调性概念 二、曲线单调性的判定法
函数单调性的判定法一定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若f(x)>0(f'(x)<O),则 (x)在I内单调递增(递减)证:无妨设 f'(x)>0,xI,任取xi,x2 EI (xi<x2)由拉格朗日中值定理得f(x2)- f(x)= f()(x2 -x) >05e(xi,x2)CI故f(xi）<f(x2.这说明f(x)在I内单调递增证毕目录上页下页返回结束机动
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕
例1.确定函数 f(x)=2x3 -9x2+12x-3的单调区间解: f(x)= 6x2 -18x+12 =6(x-1)(x-2)令f(x)=0,得x=1,x=21(-8,1)(1.2)2(2,+80x福十f'(x)f(x)V故f(x)的单调增区间为(-0,1),(2,+)f(x)的单调减区间为(1,2)1 2 x目录上页下页返回结束机动
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x = 1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 O x y 1 2
说明：单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点D例如, y=/x?,xE(-0,+8)y=x33/xOX=8x=0yt2）如果函数在某驻点两边导数同号则不改变函数的单调性例如, y=x3,xE(-80,+o0)xy'= 3x2lx=0 = 0目录上页下页返回结束机动
y O x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y O x 3 y = x
2sinx元例2.证明时，成立不等式0<x≤一2元x2sinx证： 令 f(x)=元x儿儿上可导，且则f(x)在(0,)上连续，在(0证cOSxx·cosx-sinx(x-tanx)<0f'(x)=xXtan x元因此f(x)在(0=)内单调递减21又f(x)在"处左连续,因此f(x)≥f(")=2sinx元从而(OXE元x目录下页返回结束机动上庭明
例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , π sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明