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第4章 第三节 分部积分法 一、分部积分公式 二、应用分部积分法的关键 三、公式应用举例
一、分部积分公式由导数公式（uv）=uv+uv积分得：uv=[u'vdx+[uv'dx,[uv'dx = uv- f u'vdx,分部积分公式或J udv= uv-f du,目录上页下页返回结束机动
一、分部积分公式 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 ( ) = + , uv u v uv uv u vdx uv dx = + , − uv dx uv u vdx = , − udv uv vdu =
例1.求xcosxdx.解：令u=x, V=cosx,则u=1,v=sinx,所以[ xcosxdx = xsinx -J sinxdx=xsinx+cosx+C[x' sinxdx?思考：如何求提示:令u=x2，V=sinx，则[ x’sinxdx = -x-cosx +2[ xcosxdx目录上页下页返回结束机动
例1. 求 解: 令 则 思考: 如何求 提示: 令 则 = sin x x 所以 = sin + cos + . x x x C x xdx cos . u x = , v x = cos , u = 1, v x = sin , x xdx cos − sinxdx 2 x xdx sin ? = 2 u x , v x =sin , 2 x xdx sin − 2 = cos x x +2 cos x xdx =
二、应用分部积分法的关键应用分部积分法的关键是恰当选取u及v（或d选取时要考虑以下两点（原则）1）容易求得；2】[u'vdx 比『uv'dx 容易计算选取u及（或d）的一般方法把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指反：反三角函数的顺序，将前者选为u，后者选为对：对数函数幂幂函数不.但注意反三角函数和指：指数函数三：三角函数作为 选取.上页目录下页返回结束机动
二、应用分部积分法的关键 容易求得 ; 容易计算 . uv dx 2) u vdx 比 选取时要考虑以下两点 应用分部积分法的关键是恰当选取 u 及 v ( 或 dv). ( 原则 ). 选取 u 及 v( 或 dv) 的一般方法 把被积函数视为 ： 但注意反三角函数和 作为 v 选取． u, 后者选为 v . 按“反对幂三指” 将前者选为 两个函数之积 , 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 的顺序， 不 1)
三、公式应用举例例2求「xlnxdx.解 令u=lnt,V=x, 则u'==,v=}x，所以Inxxdxxlnxdxx2-+0Inx-目录上页下页返回结束机动
三、公式应用举例 令 则 所以 例2 求 解 x xdx ln . u x = ln , v x = , , 1 u = x 1 2 = 2 v x , x xdx ln 1 2 = ln 2 x x − 12 xdx − 1 1 2 2 = ln + . 2 4 x x x C