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第3章 第五节函数曲线的凹凸性 一、曲线的凹凸性 二、曲线的拐点
一、曲线的凹凸性曲线的凹凸性的定义设函数f(x）在区间I上连续，如果对I上任意两点X1,X2恒有f(xi)+ f(x2)1+X222则称f（x）在I上的图形是f（x）（向上）凹的（或凹弧）;如果对I上任意两点X1,X2恒有(i +x2)>f(xi)+ f(x2)22则称f(x)在I上的图形是f(x）（向上）凸的J（或凸弧）目录上页下页返回结束机动
一、曲线的凹凸性 曲线的凹凸性的定义 设函数 f x( ) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 1 2 x x, 恒有 1 2 1 2 + ( ) + ( ) ( ) < , 2 2 x x f x f x f 则称 f x( ) 在 I 上的图形是 f x( ) ( 向上 ) 凹的 ( 或凹弧 ); 1 2 1 2 + ( ) + ( ) ( ) > , 2 2 x x f x f x f 如果对 I 上任意两点 1 2 x x, 恒有 则称 f x( )在 I上的图形是 f x( ) ( 向上) 凸的 (或凸弧)
一、曲线的凹凸性定义.设函数f(x)在区间I上连续，Vxi,x2EIf(xi)+ f(x2)+X2则称f(x)的(1）若恒有f22图形是凹的；f(x)+f(x)Xi+x(2）若恒有f(则称f(x)的22拐点图形是凸的连续曲线上有切线的凹凸分界点x称为拐点目录上页下页返回结束机动
A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 一、曲线的凹凸性 y O x 2 x 1 x 2 1 2 x +x y O x 2 x 1 x 2 1 2 连续曲线上有切线的凹凸分界点 x +x 称为拐点 . y O x 拐点
定理2.(凹凸判定法）设函数f(x)在区间I上有二阶导数(1)在I内 f"(x)>0,则f(α)在I内图形是凹的 ；+(2)在I内 f"(x)<0,则f(x)在I内图形是凸的。证：xi,x2I,记=,利用一阶泰勒公式可得f"(E)(xi-)f(xi)= f(E) +f'()(xi-≤)Tf"(52(x2 -5)f(x2)= f() ± '()(x2 -2两式相加f(x1)+ f(x2)= 2f(5)+(2--1)2 [f"(51)+ f"(52))当f"(x)>0时, {(x)f(2)> f(5),说明(1)成立;2证毕(2)目录上页下页返回结束机动
定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f ( ) ( ) 2 f x = f 两式相加 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f + f 当 f (x) 0时, 说明 (1) 成立; (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 , 2 1 2 x +x 记 = + f ( ) ( ) x1 − + f ( ) ( ) x2 − 2 ! ( ) 2 f + 2 2 (x − ) 2 ! ( ) 1 f + 2 1 (x − ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x +
定理设f(x)在区间[a,b上连续，在(a,b）内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a,b)内f"(x)>0,则f(x)在[a,bl上的图形是凹的；(2) 若在(a,b) 内 f"(x)<0,则f(x) 在[a,b]上的图形是凸的证明(1)设xi,x2(xi<x2)为[a,b]内任意两点，记X2 - Xo = Xo - X1 = h,则Xi = xo- h, X2 =xo + h.由拉格朗日公式，得目录上页下页返回结束机动
定理 设 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续，在 ( , ) a b 内具有 一阶和二阶导数，那么 (1) 若在 ( , ) a b 内 f x ( ) > 0, 图形是凹的； 则 f x( ) 在 [ , ] a b 上的 若在 ( , ) a b 内 f x ( ) < 0, 图形是凸的． (2) 则 f x( ) 在 [ , ] a b 上的 证明 (1) 设 x x 1 2 , ( < ) x x 1 2 为 [ , ] a b 内任意两点，记 x x x x h 2 0 0 1 − − = = , 则 − x x h 2 0 = + . x x h 1 0 = , 由拉格朗日公式，得