《线性代数》课程教学资源（讲稿）第4章 向量组的线性相关性

线性代数教案a.a2ara-azia22a,azr证A:::...[amam2arαm[β.][ai..ara,r+1ainβ,a2iazra,+1azrB:...目目:LBmLam!..a..am,r+la....T线性无关A是B的子矩阵=rankB≥rankA=m= rankA=m := rankB=m=T,线性无关[α,]Q[ββ，β,],则有定理8划分Amm=[αm](1）A中某个D,+0=A中“D,所在的”r个行向量线性无关；A中“D,所在的”r个列向量线性无关，(2）A中所有D=0=A中任意的r个行向量线性相关：A中任意的r个列向量线性相关，证只证“行的情形”：α.则有1）设D位于A的ii行，作矩阵BαrankB=r=α,,,α,线性无关.α(2）任取A中r个行，设为i，,i，行，作矩阵Bxα,则有rankB<r=α,，…,α,线性相关[注]称α,α,.",α为A的行向量组，β,β,,β为A的列向量组s3向量组的秩定义5设向量组为T，若6

线性代数教案 6 证              = m Am r     2 1               = m m mr r r a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1              = m Bm n     2 1               = + + + m mr m r mn r r n r r n a a a a a a a a a a a a           1 , 1 21 2 2, 1 2 11 1 1, 1 1 T1 线性无关  rankA = m ； A 是 B 的子矩阵  rankB rankA = m  rankB = m  T2 线性无关 定理 8 划分   n m Am n         1 2 2 1 =              = , 则有 (1) A 中某个 D r  0 A 中“ D r 所在的” r 个行向量线性无关； A 中“ D r 所在的” r 个列向量线性无关． (2) A 中所有 D r = 0 A 中任意的 r 个行向量线性相关； A 中任意的 r 个列向量线性相关． 证 只证“行的情形”： (1) 设 D r 位于 A 的 r i , ,i 1  行, 作矩阵            = r i i Br n    1 , 则有 r i i rankB r  , , =  1  线性无关． (2) 任取 A 中 r 个行, 设为 r i , ,i 1  行, 作矩阵            = r i i Br n    1 , 则有 r i i rankB r  , ,   1  线性相关． [注] 称    m , , , 1 2  为 A 的行向量组,    n , , , 1 2  为 A 的列向量组． §3 向量组的秩 定义 5 设向量组为 T , 若

线性代数教案(1)在T中有个向量α,α2,α,线性无关；(2）在T中有r+1个向量线性相关（如果有r+1个向量的话）.称α,αz,",α,为向量组为T的一个最大线性无关组称r为向量组T的秩，记作：秩(T)=r.[注](1)向量组中的向量都是零向量时，其秩为0(2）秩(T)=r时，T中任意r个线性无关的向量都是T的一个最大无关组10111112例如，α,=的秩为2.,α,=，αg=α.=[o11[2α,α,线性无关=α,α,是一个最大无关组α,,α,线性无关=αα,是一个最大无关组[注】一个向量组的最大无关组一般不是唯一的.定理9设rankA=r≥1，则（1）A的行向量组（列向量组）的秩为r；（2）A中某个D±0=A中D,所在的r个行向量（列向量）是A的行向量组（列向量组）的最大无关组.证只证“行的情形”：由rankA=r=A中某个D,±0，而A中所有D+=0定理8=A中D,所在的r个行向量线性无关A中任意的r+1个行向量线性相关定义：A的行向量组的秩为r，且A中D所在的r个行向量是A的向量组的最大无关组.137-22032β, =β, =例1向量组T：β,=B.5[-2][o1.求T的一个最大无关组.7

线性代数教案 7 (1) 在 T 中有 r 个向量    r , , , 1 2  线性无关； (2) 在 T 中有 r +1 个向量线性相关（如果有 r +1 个向量的话）． 称    r , , , 1 2  为向量组为 T 的一个最大线性无关组, 称 r 为向量组 T 的秩, 记作：秩 (T) = r ． [注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为 0． (2) 秩 (T) = r 时, T 中任意 r 个线性无关的向量都是 T 的一个 最大无关组． 例如,       = 0 1 1 ,       = 1 0  2 ,       = 1 1  3 ,       = 2 2  4 的秩为 2． 1 2  , 线性无关 1 2  , 是一个最大无关组 1 3  , 线性无关 1 3  , 是一个最大无关组 [注] 一个向量组的最大无关组一般不是唯一的. 定理 9 设 rankA mn = r 1, 则 (1) A 的行向量组（列向量组）的秩为 r ； (2) A 中某个 D r  0 A 中 D r 所在的 r 个行向量（列向量）是 A 的行向量组（列向量组）的最大无关组． 证 只证“行的情形”： rankA = r  A 中某个 D r  0 , 而 A 中所有 D r+1 = 0 由 定理 8  A 中 D r 所在的 r 个行向量线性无关 A 中任意的 r +1 个行向量线性相关 定义： A 的行向量组的秩为 r , 且 A 中 D r 所在的 r 个行向量是 A 的向量组的最大无关组． 例 1 向量组 T ：           − = 2 0 1 1 ,           = 0 2 3  2 ,           − − = 1 1 2  3 ,           = 5 3 2  4 求 T 的一个最大无关组．