(後只人季 f,g)是一个实数,且有 f, g)=Sof(x)g(x)dx=o g(x)f(xdx=(g,f) (af, g)=af(x)g(xdx=af f(x)g(xdx ao, g f+g, h)=ff(x)+g(x)]h(x)dx o f(xh(xdx+f g(x)h(x)dx=(, h)+(g, h) 当f(x)≠0时,有(f=Jf(x)]2dx>0,当且仅当 ∫(x)=0时,有(,∫)=0. 其中f(x),g(x),h(x)∈Ca,b],λ∈R,故C[a,b] 对于定义的内积构成欧式空间
(後只人季 欢氏空间均为实线性空间 与向量的线性相关性、基、维数、坐标和子空间 等基本概念均适用于欧氏空间。 欧氏空间的一些基本性质 (0,a)=0 (a, kB)=(kB, a)=k(,a)=k(a, B (a,B+y)=(β+y,a)=(B,a)+(y,a) (a,B)+(a,y) 1lB1)=1E1k1(an月
(後只人季 二、向量的长度与夹角 定义4.8设a是欧氏空间V的一个向量,则非 负实数√a,a)称为向量a的长度,记为 al‖ 当且仅当=0时,有‖al-=0
二、向量的长度与夹角
(後只人季 类似于几何空间中向量的长度 lλa|=√Ac,a)=||a,a∈ V,∈R 长度为1的向量称为单位向量 若a≠0,则a称为把向量a单位化(或标 lall 准化)
(後只人季 向量的夹角 预备知识: 定理4.5柯西许瓦兹 Cauchy-Schwaz不等 式:对于欧氏空间V中任意两个向量a,β恒 有 a,B≤aⅢβ 当且仅当a,β线性相关时等式成立