第五章留数及其应用$5-1函数的孤立奇点及其分类$5-2留数和留数定理$5-3留数在定积分计算中的应用
第五章 留数及其应用 ◼ §5-1 函数的孤立奇点及其分类 ◼ §5-2 留数和留数定理 ◼ §5-3 留数在定积分计算中的应用
从上一章知，利用将函数(z)在其解析的环域R,<z-zo<R,内展开成Laurent级数的方法,根据该级数的系数的积分表达式f.f(z)dz2.元可以计算右端的积分。这类积分非常广泛其中C是该环域内围绕点z.的正向简单闭曲线。C的内部可能有(z)的有限个或无穷多个奇点。有时将函数展开成Laurent级数，求系数C.很麻烦。这就需要介绍一种求C.的新方法：用留数计算积分的方法
从上一章知，利用将函数f(z)在其解析的环 域R1<|z-z0 |<R2内展开成Laurent级数的方法， 根据该级数的系数的积分表达式 可以计算右端的积分。这类积分非常广泛， 其中C是该环域内围绕点z0的正向简单闭 曲线。C的内部可能有f(z)的有限个或无穷多 个奇点。 − = c f z dz i c ( ) 2 1 1 有时将函数展开成Laurent级数，求系 数C-1很麻烦。这就需要介绍一种求C-1的 新方法：用留数计算积分的方法
S.5-1函数的孤立奇点及其分类函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型
§5-1 函数的孤立奇点及其分类 一、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型
一、函数孤立奇点的概念及其分类定义如果函数f(z）在z不解析，但f(z）在z的某一去心邻域0<z-zo<内处处解析，则称zo为f(z)的孤立奇点sin7例1 z=0 是函数的孤立奇点7z =-1是函数的孤立奇点z+1注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点
定义 如果函数 0 f (z) 在 z 不解析, 但 f (z) 在 0 z 的某一去心邻域 − 0 0 z z 内处处解析, 则称 0 z 为 f (z) 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点. 一 、函数孤立奇点的概念及其分类
北例2指出函数f(z）=在点z=0的奇点特性sin2解函数的奇点为1Zo = 0, Zk =(k = ±1,±2,)k元1因为lim= 0,k->0k元即在z=0的不论怎样小的去心邻域内,总有f(z)的奇点存在，所以z=0不是孤立奇点
例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解 0 1 0 , k z z k = = (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0 不是孤立奇点