第四节拉普拉斯变换的应用 许多工程实际问题常用微分方程来描述，而拉普 拉斯变换对于求解微分方程是非常有效的， 其方法是：先通过拉普拉斯变换将微分方程化为 像函数的代数方程，由代数方程求出像函数，再取 拉普拉斯逆变换就可以求出微分方程的解
第四节拉普拉斯变换的应用 . , 拉斯变换对于求解微分方程是非常有效的 许多工程实际问题常用微分方程来描述 而拉普 . , , : 拉普拉斯逆变换就可以求出微分方程的解 像函数的代数方程由代数方程求出像函数 再取 其方法是 先通过拉普拉斯变换将微分方程化为
原像函数空间关于 像函数空间关于像函 x(t)的微分方程组 数X(s的代数方程 得到微分方程的 求解像函数的代 解x(t)=L[X(s)】 数方程得到X(s)
数方程得到X (s) 求解像函数的代 ( ) [ ( )] 1 x t L X s − 解 = 得到微分方程的 的微分方程组 原像函数空间关于 x(t) 数 的代数方程 像函数空间关于像函 X (s)
例题1.求解初值问题df(t) +f(t)=sin ot, dt 其中f(0)=0,在区间0，o)上的解。 解：令LLf(t】=F(s),两边取拉普拉斯变换得 F(6+Fo)-=g4o 解代数方程可得F(s)= (s+1)(s2+02) 再由拉普拉斯逆变换（卷积定理）可得到 ()= 1 02+1 (we +sin wt-coswt)
例题1.求解初值问题 ( ) sin , ( ) f t t dt df t + = 其中f (0) = 0,在区间[0,)上的解。 解:令L[ f (t)] = F(s),两边取拉普拉斯变换得 2 2 ( ) ( ) + + = s sF s F s 解代数方程可得 ( 1)( ) ( ) 2 2 + + = s s F s 再由拉普拉斯逆变换(卷积定理)可得到 ( sin cos ) 1 1 ( ) 2 f t e t t t + − + = −
例题2.求微分方程y+y=t的解，并满足初始条 件y(0)=1,y(0)=-2的解 解：令L[y(t)】=Y(s),两边取拉普拉斯变换得，并考 虑初始条件得到y]+[y]=L[t] 0-0=y0-o= s'Y(s)-s+2+Y(5)= 整理后解得Y(s 1 S-2 1 3 Y()=g2(5+0 S s2+1 s2+1s2+1
(0) 1, (0) 2 . ' '' 件 的解 例题2.求微分方程 的解,并满足初始条 = = − + = y y y y t 虑初始条件得到 解:令L[ y(t)] = Y(s),两边取拉普拉斯变换得,并考 [ ] [ ] [ ] '' L y + L y = L t 2 2 ' 1 ( ) (0) (0) ( ) s s Y s − sy − y +Y s = 2 2 1 ( ) 2 ( ) s s Y s − s + +Y s = 整理后解得Y(s) 1 2 ( 1) 1 ( ) 2 2 2 + − + + = s s s s Y s 1 3 1 1 2 2 2 + − + = + s s s s
再由拉普拉斯逆变换可得到yt) 0=-,F =t+cost-3sin t 例题3.求解常系数微分方程的初值问题 x(t)-2x(t)+2x(t)=2 cost,x(0)=x(0)=0 解：令X(s)=[x()小，在方程两边取拉氏变换，并由初始条 件得到
例题3.求解常系数微分方程的初值问题 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 cos , (0) (0) 0 '' ' ' x t − x t + x t = e t x = x = t 件得到 解:令X (s) = L[x(t)],在方程两边取拉氏变换,并由初始条 再由拉普拉斯逆变换可得到y(t) ] 1 3 ] [ 1 ] [ 1 ( ) [ ( )] [ 2 1 2 1 2 1 1 + − + = = + − − − − s L s s L s y t L Y s L = t +cost −3sin t