《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第八章 拉普拉斯变换 8.2 拉普拉斯变换性质

第二节拉普拉斯变换的性质 说明：凡是要求拉普拉斯变换的函数都满足拉普拉 斯变换存在定理的条件，并且这些函数的增长指数 都统一取为C 1.线性性质 设a,B为常数，并且有L(f(t)=F(s),L(g(t)=G(s), 则有 L[af(t)+Bg(t]=aF(s)+BG(s) L[aF(s)+BG(s)]=af(t)+Bg(t)

则有 设,为常数,并且有L( f (t)) = F(s), L(g(t)) = G(s), L[f (t) + g(t)] =F(s) + G(s) 第二节拉普拉斯变换的性质 . , : 都统一取为C 斯变换存在定理的条件 并且这些函数的增长指数 说明 凡是要求拉普拉斯变换的函数都满足拉普拉 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 L F s + G s =f t + g t − 1.线性性质

例题1：求cos wt,.sin wt的拉普拉斯变换 解： 由icosa=-e0+ea)及4em1=,号 2 s-jw Llc0s@xI-(Lle1+Lle-D) ie'sio-yio +1 同样的我们可以求出sin wtp的拉普拉斯变换 Llsint ⊙

例题1:求cost,sint的拉普拉斯变换. ( ) 2 1 cos j t j t t e e    − 由 = +   s j L e j t − = 1 [ ] ( [ ] [ ]) 2 1 [cos ] j t j t L t L e L e    − = + 2 2 ] 1 1 [ 2 1   + = + + − = s s s j s j 解: 及 同样的我们可以求出sin t的拉普拉斯变换. 2 2 [sin ]    + = s L t

5s-1 例题2己知F(s)= 求L[F(s] (s+1)(s-2) 解 5s-1 由F(S)= =21 +3、1 (s+1)s-2)s+1s-2 4e1= 及 s-a ro=2,*3,32e+3e2 例题3求函数f(t)=cos3t+6e3的拉普拉斯变换， 23+6 解：f】=Lcos30]+6e]= S+3

, [ ( )] ( 1)( 2) 5 1 ( ) 1 L F s s s s F s − + − − 例题2已知 = 求 2 1 3 1 1 2 ( 1)( 2) 5 1 ( ) − + + = + − − = s s s s s 由F s   − = s L e t 1 [ ] 解: 及 ] 2 1 ] 3 [ 1 1 [ ( )] 2 [ 1 1 1 − + + = − − − s L s L F s L t t e e 2 = 2 + 3 − 例题3求函数 的拉普拉斯变换. t f t t e 3 ( ) cos3 6 − = + 解: ] t L f t L t L e 3 [ ( )] [cos3 ] [6 − = + 3 1 6 3 2 2 + + + = s s s

1 例题4求F(s)= 的拉普拉斯逆变换 (s-a)(s-b) 解：因为 F[s=ab,'aE, E=a'6e-e]

. ( )( ) 1 例题4求 ( ) 的拉普拉斯逆变换 s a s b F s − − = 解:因为 ] 1 1 [ 1 ( )( ) 1 ( ) s a s b a b s a s b F s − − − − = − − = ]} 1 ] [ 1 { [ 1 [ ( )] 1 1 1 s b L s a L a b L F s − − − − = − − − [ ] 1 [ ( )] 1 a t b t e e a b L F s − − = −

2.相似性质 设L(f(t)=F(s),则对任一常数a>0有 Ua-=rd f(a) 3.微分性质 (1)导函数的像函数 设L(f(t)=F(s),则有L(f(t)=sF(s)-f(O) 对于高阶导数则有 L(f()=s"F(s)-s"f0)-s-2f(0)-fm-(0)

设L( f (t)) = F(s),则对任一常数a  0有 ( ) 1 ( ( )) a s F a L f at = ( )] ( ) 1 [ 1 f at a s F a L = − (1)导函数的像函数 ( ( )) ( ), ( ( )) ( ) (0) ' 设L f t = F s 则有L f t = sF s − f 对于高阶导数则有 ( ( )) ( ) (0) (0) ( ) 1 2 ' L f t s F s s f s f n n n− n− = − − (0) ( −1) − − n  f 2.相似性质 3.微分性质