《线性代数》课程教学资源（讲稿）第5章 相似矩阵及二次型

线性代数教案(1)det(E-A)=0特征矩阵：A-E或者E-Aan-元ainai2..an-n..a21a2n特征多项式：p()=det(A-E)=:aal.am-元an2=a"+a,α"-"++a-a+a.[a=(-1)"]显然，A的特征值就是特征方程（1)的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A有n个特征值定理1设A=(a,）的特征值^,,",，trA=a.+an+...+am，则(1) trA=^ +, +..+,;(2) detA=..证由特征值的定义可得[a-a...anan-元...a2na21P()= det(A-E)=::an..a.-aan2=(a-)(an -)..-(am-)+ f.-2(a)=(-1)"" +(-1)"-"(a. +a +...+am)2 +gn-2(a)+ fu2(a)其中g-2(a),fr-2(a)都是次数不超过n-2的多项式.由题设，又有p(2)= det(A-E)=(-)(2 -).-(, -)=(-1)"" +(-1)"( +, ++,) +...+(, ..)比较多项式同次幂的系数可得a+a++a.=+,+..+a.detA= (0)= ,推论detA=0一0是A的特征值若几为A的一个特征值，则一定是方程A－E0的根，因此又称特征根，若为方程|A-入E=0的n,重根，则称为A的n,重特征根方程（A-E)X=0的每一6

线性代数教案 6  det(E − A) = 0 (1) 特征矩阵： A− E 或者 E − A 特征多项式：       − − − = − = n n nn n n a a a a a a a a a A E        1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) det( ) [ ( 1) ] 1 0 1 0 1 n n n n n = a + a + + a − + a a = − −     显然， 的特征值就是特征方程(1)的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程 的次数（重根按重数计算），因此， 阶矩阵 有 个特征值． 定理 1 设 A = aij nn ( ) 的特征值    n , , , 1 2  , A = a11 + a22 ++ a nn tr , 则 (1) A = 1 + 2 ++  n tr ； (2) detA = 12  n ． 证 由特征值的定义可得       − − − = − = n n nn n n a a a a a a a a a A E        1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) det( ) ( )( ) ( ) ( ) = a11 −  a22 −   a nn −  + f n−2  ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 11 22 1   −  −  − − = − + − + + + + n + n n nn n n n a a  a g f 其中 ( ), ( ) gn−2  f n−2  都是次数不超过 n − 2 的多项式．由题设, 又有 ( ) det( ) ( )( ) ( )   = A− E = 1 −  2 −    n −  ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 n n n n n n = −  + −  +  ++   ++    − − 比较多项式同次幂的系数可得 a11 + a22 ++ a nn = 1 + 2 ++  n A  12  n det = (0) = 推论 detA = 0  0 是 A 的特征值． 若 为 的一个特征值，则 一定是方程 | A − E |= 0 的根, 因此又称特征根，若  为方程 | A − E |= 0 的 i n 重根，则  称为 的 i n 重特征根．方程 (A − E)X = 0 的每一

线性代数教案个非零解向量都是相应于入的特征向量，于是我们可以得到求矩阵A的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算A的特征多项式|A-E：第二步：求出特征方程A－入E0的全部根，即为A的全部特征值；第三步：对于A的每一个特征值元，求出齐次线性方程组：(A-^E)X=-0的一个基础解系5,52，5，，则A的属于特征值入的全部特征向量是k,5+k,5z+...+kss，（其中k,k.ks,是不全为零的任意实数）.[1 22]212例1求A=1的特征值与特征向量.[22 ]1-元2221-元2=(5- )(+1)3解 p()=221-2()=0=5,==-1求=5的特征向量：[-4221101[1行20A-5E=2-41-11?p, =20002-41(k, ±0)x=k,pl求,=,=-1的特征向量：[2222711行222000A-(-1)E =p,[2 2 2]0000x=k,p,+k,ps（k,k,不同时为0）[-1 1 0]-430例2求A=的特征值与特征向量102]-1-入10-43-20=(2 - 元)(-1)2解 p()=102-元()=0=2,==17

线性代数教案 7 个非零解向量都是相应于  的特征向量，于是我们可以得到求矩阵 的全部特征值和特征 向量的方法如下： 第一步：计算 的特征多项式 | A − E | ； 第二步：求出特征方程 | A − E |= 0 的全部根，即为 的全部特征值； 第三步：对于 的每一个特征值  ，求出齐次线性方程组： (A − E)X = 0 的一个基础解系 , , , 1 2   s ， 则 的属于特征值  的全部特征向量是 , 1 1 2 2 k  + k  ++ kss （其中 , , , 1 2 k k ks 是不全为零的任意实数）． 例 1 求           = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A 的特征值与特征向量． 解 2 (5 )( 1) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) = − + − − − =        () = 0  1 = 5, 2 = 3 = −1 求 1 = 5 的特征向量：           − − − − = 2 2 4 2 4 2 4 2 2 A 5E           − − → 0 0 0 0 1 1 1 0 1 行 ,           = 1 1 1 1 p ( 0) x = k1 p1 k1  求 2 = 3 = −1 的特征向量：           − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A ( 1)E           → 0 0 0 0 0 0 1 1 1 行 ,          − = 0 1 1 2 p ,          − = 1 0 1 3 p 2 2 3 p3 x = k p + k （ 2 3 k , k 不同时为 0） 例 2 求           − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A 的特征值与特征向量． 解 2 (2 )( 1) 1 0 2 4 3 0 1 1 0 ( ) = − − − − − − − =        () = 0  1 = 2, 2 = 3 =1

线性代数教案求=2的特征向量：[o-31010010-41000A-2E=p1000100(k, ±0)x=k,p,求=元，=1的特征向量：[-2 1001-420A-1E=0122P.101[0001x=k,pz (k, ±0)[注]在例1中，对应2重特征值元=-1有两个线性无关的特征向量；在例2中，对应2重特征值入=1只有一个线性无关的特征向量，若是A的属于的特征向量，则k（k+0也是对应于入的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定，反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值一般结论：对应r重特征值入的线性无关的特征向量的个数≤r例3求矩阵A的特征值和特征向量，其中(1-22A=-2-24(24-2解A的特征多项式为[1-元 -2242-2-元[A-242-元=-(2-2)(元 +7), = -7所以A的特征值为4-22=2（二重根），对于4=22=2，解齐次线性方程组(A-2E)X=0.由(-1 -2 2)12-2-4400A-2E=-2.20004-48

线性代数教案 8 求 1 = 2 的特征向量：           − − − = 1 0 0 4 1 0 3 1 0 A 2E           → 0 0 0 0 1 0 1 0 0 行 ,           = 1 0 0 1 p ( 0) x = k1 p1 k1  求 2 = 3 =1 的特征向量：           − − − = 1 0 1 4 2 0 2 1 0 A 1E           → 0 0 0 0 1 2 1 0 1 行 ,           − − = 1 2 1 2 p ( 0) x = k2 p2 k2  [注] 在例 1 中, 对应 2 重特征值  = −1 有两个线性无关的特征向量； 在例 2 中, 对应 2 重特征值  =1 只有一个线性无关的特征向量． 若  是 的属于  的特征向量，则 k (k  0) 也是对应于  的特征向量，因而特征向量 不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只 能属于一个特征值. 一般结论：对应 r 重特征值  的线性无关的特征向量的个数  r ． 例 3 求矩阵 A 的特征值和特征向量，其中. 解 的特征多项式为 = = ， 所以 的特征值为 = =2（二重根）， . 对于 = =2，解齐次线性方程组 ．由

线性代数教案CE10得基础解系为：因此，属于=2=2的全部特征向量为：+25(,2不同时为零)对于=-7，解齐次线性方程组(A+7E)X=0.由.08-232254-21A+7E=-245,0-53=-2得基础解系为：因此，属于=-7的全部特征向量为：k5(0)由以上讨论可知，对于方阵A的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量。但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：定理1设A的互异特征值为2,，…,元m，对应的特征向量依次为Pi,Pz,"Pm，则向量组P,P2,,P.线性无关证采用数学归纳法.m=1时，P,+0=P,线性无关.设m=/时，Pi,,p,线性无关，下面证明pi,""Pi,Piu线性无关(1)设数组k,,k,使得kp.+..+kp,+kP=0左乘A，利用Ap,=入p,可得k,^P,+...+k,p,+k++P+=0(2)(2)-():k,( -u)p, ++k,( -)p, =0因为P，",P,线性无关（归纳法假设），所以k(α-^)=0,.,k(--)=0=k =0,..,k=0代入(I)可得ki+Pl=0=ki=0.故pi,,Pi,Pl线性无关根据归纳法原理，对于任意正整数m，结论成立，一元多项式：f()=c+c,t+c,t*+.+c.l"9

线性代数教案 9 得基础解系为： 因此，属于 = =2 的全部特征向量为： 不同时为零 . 对于 ，解齐次线性方程组 ．由 ， 得基础解系为： 因此，属于 的全部特征向量为： 由以上讨论可知，对于方阵 的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但 对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论 中有很重要的作用．对此我们给出以下结论： 定理 1 设 A nn 的互异特征值为    m , , , 1 2  , 对应的特征向量依次为 p p pm , , , 1 2  , 则向量组 p p pm , , , 1 2  线性无关． 证 采用数学归纳法． m =1 时, p1  0 p1 线性无关． 设 m = l 时, p pl , , 1  线性无关, 下面证明 1 1 , , , p  pl pl+ 线性无关． 设数组 1 1 , , , l l+ k  k k 使得 k1 p1 ++ kl pl + kl+1 pl+1 = 0 (1) 左乘 A , 利用 Api = i pi 可得 k11 p1 ++ kll pl + kl+1l+1 pl+1 = 0 (2) (2) (1) − l+1 ： k1 (1 −l+1 ) p1 ++ kl (l − l+1 ) pl = 0 因为 p pl , , 1  线性无关（归纳法假设）, 所以 k1 (1 − l+1 ) = 0,  , kl (l − l+1 ) = 0  k1 = 0,  , kl = 0 代入 (1) 可得 kl+1 pl+1 = 0  kl+1 = 0 ．故 1 1 , , , p  pl pl+ 线性无关． 根据归纳法原理, 对于任意正整数 m , 结论成立． 一元多项式： m m f t = c + c t + c t ++ c t 2 0 1 2 ( )