3)行列式按行(列)展开法则 定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和,即 D=an41+a1242+…+anAn,(=1,2…,n
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 , D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 ++ ai nAi n (i =1,2, ,n) 3 ) 行列式按行（列）展开法则
Cramer法则 aux+aux+.+aux=b 如果线性方程组a1x1+a2x2+…+anx,=b2 anIane anndi 的系数行列式D≠0,那么它有唯一解 X 其中D(=1,2,…,n)是把系数行列式D中第列 换成常数项bb2…b所得到的行列式
Cramer 法则 , . 1,2, , , 1,2, , . 0, . , , 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 换成常数项 ， 所得到的行列式 其 中 （ ）是把系数行列式 中 第 列 的系数行列式 那么它有唯一解 如果线性方程组 b b２ b x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n j j j n n n n n n n n n n D j n D j j n D D D = = = + + + = + + + = + + + =
Cramer法则的理论价值 定理如果线性方程组 auxtaux,+.+aix=ba 21x1+a2x2+…+a2nXn=b2 anxt a n2∴2 nn x=b 的系数行列式D≠0,那么它一定有解,且解住 定理如果上述线性方程组无解或有两个不同的 解,则它的系数行列式为零
Cramer 法则的理论价值 0, . . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 的系数行列式 那么它一定有解，且解唯 一 如果线性方程组 + + + = + + + = + + + = D a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n n n n n n n 解，则它的系数行列式必为零. 定理 如果上述线性方程组无解或有两个不同的 定理
定理如果齐次线性方程组 auxitaux+.+aix=0, 21 rita 222 +…+aL2nxn=0, anxt an2x2 t Ann n=0. 的系数行列式≠0,那么它没有非零解 定理如果上述齐次线性方程组有非零解,则 它的系数行列式必为零
0, . 0. 0, 0, 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 的系数行列式 那么它没有非零解 如果齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = D a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n n n n n n 它的系数行列式必为零. 如果上述齐次线性方程组有非零解，则 定理 定理
典型例题 1用定义计算(证明) 例用行列式定义计算 12 13 21222324a25 Ds=a31a32a13334a35 0a42a4300 0a52a5300
典 型 例 题 １ 用定义计算（证明） 例 用行列式定义计算 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 2 5 3 4 2 4 3 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 1 2 1 3 5 a a a a a a a a a a a a a a a a D =