§2标准正交基 、正交向量组 标准正交基 三、正交矩阵
1 一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
、正交向量组 定义: 设V为欧氏空间,非零向量a1,a2,…,an∈V, 如果它们两两正交,则称之为正交向量组 注 ①若a≠0,则c是正交向量组 ②正交向量组必是线性无关向量组
2 设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 2 , , , , m V ① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 一、正交向量组 定义： 如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：
证:设非零向量a1,a2,…,an∈V两两正交 令k1a1+k2a2+…+kn2am=0,k2∈R, 则(a,∑k1a1)=∑k,(a,a1)=k1(a,)=0 由a1≠0知(a1,1)>0, k;=0,i=1,2,,m. 故a1,a2,xm线性无关
3 证：设非零向量 两两正交. 1 2 , , , m V 令 1 1 2 2 0, , m m i k k k k R + + + = 则 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m m i j j j i j i i i j j k k k = = = = = 由 i 0 知 ( , ) 0, i i 0, 1,2, , . i = = k i m 故 1 2 线性无关. , , , m
③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组 例如:R3中a1=(1,1,0),a2=(1,0,1)线性无关 但a1,Q2不是正交向量组 19c2 )=1≠0. ④n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n
4 ④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n. ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 1 2 ( , ) 1 0. = 1 2 例如： 中 = = (1,1,0), (1,0,1) 3 R 线性无关． 但 1 2 不是正交向量组.
二、标准正交基 1.几何空间R3中的情况 在直角坐标系下 i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组,即 i,)=(,k)=(k,=0, i=j=k=1 i,j,是R3的一组基
5 1. 几何空间 R 3 中的情况 在直角坐标系下 i j k = = = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即 二、标准正交基 ( , ) ( , ) ( , ) 0, i j j k k i = = = i j k , , 是 的一组基. 3 R | | | | | | 1 i j k = = =