1最大公因式 、公因式最大公式 、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式
一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式
公因式最大公因式 1.公因式:f(x)、g(x)∈Px,若q(x)∈Px], 满足:9(x)f(x)且p(x)g(x), 则称q(x)为∫(x)g(x)的公因式 2.最大公因式:∫(x)、g(x)∈Px,若l(x)∈Px 满足:id(x)f(x),d(x)g(x); i)若q(x)∈Pxl,(x)f(x)且叭(x)g(x),则 p(x)d(x) 则称d(x)为f(x)g(x)的最大公因式
i) d x f x d x g x ( ) ( ), ( ) ( ) ; 1．公因式: f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、 若 ( ) x P x [ ], 满足: ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ), x g x 2．最大公因式: f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、 若 d x P x ( ) [ ] 满足： ii) 若 ( ) [ ] x P x ， ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ) x g x ，则 ( ) ( ) . x d x 则称 d x( ) 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式． 则称 ( ) x 为 f x g x ( ) ( ) 、 的公因式． 一、公因式 最大公因式
注:①f(x)8(x)的首项系数为的最大公因式记作: (∫(x)、g(x)) ②f(x)∈Px,∫(x)是f(x)与零多项式0的最 大公因式 ③两个零多项式的最大公因式为0 若f(x),g(x)不全为零,则(f(x),g(x)≠0 ④最大公因式不是唯一的,但首项系数为的最大 公因式是唯一的(若d(x)、为(x)∫(x)g(x) 的最大公因式,则d1(x)cl2非零常数.)
① f x g x ( ) ( ) 、 的首项系数为1的最大公因式记作: ( ( ) )) f x g x 、 ( . 注： ② f x P x ( ) [ ] ， f x( ) 是 f x( ) 与零多项式0的最 大公因式． ③ 两个零多项式的最大公因式为0． ④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大 公因式是唯一的. ( 若 d x d x 1 2 ( ) ( ) 、 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式，则 d x d x 1 2 ( ) c ( ) = ，c为非零常数． ) 若 f x g x ( ), ( ) 不全为零，则 ( ( ), ( )) 0. f x g x
、最大公因式的存在性与求法 引理:若等式∫(x)=(x)g(x)+r(x)成立,则 f∫(x)g(x)与g(x)、r(x)有相同的公因式,从而 (∫(x),g(x)=(g(x),f(x)
二、最大公因式的存在性与求法 若等式 成立，则 与 有相同的公因式,从而 ． f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + f x g x ( ) ( ) 、 g x r x ( ) ( ) 、 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) f x g x g x f x , , = 引理：
定理2对f(x)、g(x)∈P|x,在P[x中存在 一个最大公因式d(x),且d(x)可表成∫(x)、g(x) 的一个组合,即丑(x)v(x)∈PAx,使 d(r=u(xf(x)+v(x)g(x)
定理2 对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 ． f x g x P x ( ) ( ) [ ] 、 P x[ ] d x( ) d x( ) f x g x ( ) ( ) 、 u x v x P x ( ) ( ) [ ] 、 d x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = +