§1,3整除的概念 、带余除法 二、综合除法 三、整除
§1.3 整除的概念 一、带余除法 二、综合除法 三、整除
、带余除法 定理对f(x,g(x)∈P[x,g(x)≠0, 定存在q(x),r(x)∈P[x,使 f(=q(xg(x)+r() 成立,其中(r(x)<0(g(x)或r(x)=0, 并且这样的g(x),r(x)是唯一决定的 称q(x)为g(x除∫(的商,r(劝8(除f(x) 的余式
对 f x g x P x g x ( ), ( ) [ ], ( ) 0, 一定存在 q x r x P x ( ), ( ) [ ], 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 成立，其中 ( ( )) ( ( )) r x g x 或 r x( ) 0, = 一、带余除法 定理 并且这样的 g x r x ( ), ( ) 是唯一决定的． 称 q x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的商， r x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的余式．
Proof:先证存在性 ①若∫(x)=0,则令q(x)=r(x)=0.结论成立 ②若f(x)≠0,设∫(x),g(x)的次数分别为n,m 当n<m时,显然取q(x)=0,r(x)=f(x)即有 ∫(x)=q(x)g(x)+r(x),结论成立 下面讨论n≥m的情形,对n作数学归纳法 次数为0时结论显然成立 假设对次数小于n的∫(x),结论已成立
① 若 f x( ) 0, = 则令 q x r x ( ) ( ) 0. = = 结论成立． ② 若 f x( ) 0, 设 f x g x ( ), ( ) 的次数分别为 n m, , Proof： 当 n m 时， 结论成立． 显然取 q x r x f x ( ) 0, ( ) ( ) = = 即有 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 下面讨论 n m 的情形， 假设对次数小于n的 f x( )，结论已成立． 先证存在性． 对 n 作数学归纳法． 次数为０时结论显然成立．
现在来看次数为n的情形 设∫(x)的首项为ax",g(x)的首项为bx",(n≥m) 则bax“"g(x)与f(x)首项相同,因而,多项式 fi(xf(x)bax"-"g(=) 的次数小于n或f为0 若f(x)=0,令(x)=baxm,r(x)=0即可 若a(f1(x)<n,由归纳假设,存在q1(x,(x) 使得f(x)=q1(x)g(x)+n1(x)
设 f x( ) 的首项为 , n ax g x( ) , ( ) m 的首项为 bx n m 则 ( ) 与 首项相同， 1 n m b ax g x − − f x( ) 因而，多项式 ( ) 1 ( ) ( ) - 1 = - g n-m f x f x b ax x 的次数小于n或 f1为0． 若 ( ) f x 1 = 0, 令 1 ( ) , ( ) 0 n m q x b ax r x − − = = 即可． 若 ( f x n 1 ( )) , 由归纳假设，存在 1 1 q x r x ( ), ( ) 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x q x g x r x = + 现在来看次数为n的情形．
其中a(1(x)<a((x)或者(x)=0.于是 x)=(bam+1(x)(x)+(x) 即有q(x)= b ax+q1(x),r(x)=n1(x)使 f(r=q()g(x)+r(x), 成立 由归纳法原理,对f(x),g(x)≠0,q(x,r(x) 的存在性得证
其中 ( ( )) ( ) 1 r x < g x( ) 或者 1 r x( ) 0. = 于是 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 1 1 . n m f x b ax q x g x r x − − = + + 即有 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , n m q x b ax q x r x r x − − = + = 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 成立． 的存在性得证． 由归纳法原理，对 f x g x ( ), ( ) 0, q x r x ( ), ( )