第六节行列式按一行(列)展开 先回忆一下三阶行列式的计算 a1a12a13 21022023 12 +(13 32033 31033 3132 313233 可以观察到如下事实: (1)a1后面的行列式是由三阶行列式划去该元素所在 的行和列后剩下的二阶行列式; (2)a1,前面的符号由-)决定
1 第六节 行列式按一行（列）展开 先回忆一下三阶行列式的计算： 11 12 13 22 23 21 23 21 22 21 22 23 11 12 13 32 33 31 33 31 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − + 可以观察到如下事实： 的行和列后剩下的二阶行列式； 后面的行列式是由三阶行列式划去该元素所在 a1 j (1) (2) ( 1) . 1 a1 j 前面的符号由− + j 决定
按照上述思想,我们引入余子式和代数余子式 的概念 定义在m阶行列式an|中,把元素所在的第行和 第列划去后,留下来的阶行列式 11 1-1j+1 1+1 7+1n n J J 叫做元素a的余子式,记们M;记A=(-1)Mn A,叫做元素a的代数余子式 2
2 按照上述思想，我们引入余子式和代数余子式 的概念： 定义 第 列划去后，留下来的 阶行列式 在 阶行列式 中，把元素 所在的第行 和 1 | | j n − n a a i i j i j . ( 1) , 叫做元素 的代数余子式 叫做元素 的余子式，记作 ； 记 i j i j i j i j i j i j i j A a a M A M + = − 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − + + − + + + − +
引理一个n阶行列式D,如果其中第行所有元素除n外 都为零,则D=a 证明分析 i-1,j+1 1.n D 0 i+1,j-1 +1 +1,+1 +1
3 引理 . i j i j i j D a A n D i a 都为零，则 = 一 个 阶行列式 ，如果其中第行所有元素除 外 证明分析 D = n n j n j n j n n i i j i j i j i n i j i i j i j i j i n j j j n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 1 1, 1 1 1, 1 1 0 0 0 0 − + + + − + + + + − − − − − + − − +
n J l-1,n (-1) i+1,j-1 1+1,J , n n,y- n,+ 0 0 0 0 j+1 n (-1)0)n)la 1+1,J i+1,+1 +1,n i+1, n n,j+1 0 0 0 0 4
4 0 0 0 0 ( 1) 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 1 1, 1 1 1, 1 1 i j n n j n j n j n n i i j i j i j i n i i j i j i j i n j j j n n i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + + + − + + + + − − − − − + − − + − = − i j n n j n j n n n j i i j i j i n i j i i j i j i n i j j j n j n i n j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 ( 1) 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1 1 1, 1 1, 1 1 1 ( ) ( ) − + + + − + + + + − − − − + − − − + − + − = −
由于 1,-1i-1,j+1 l-1,n i+1.1 i+1,j-1 l+1,n 0 0 0 0 ∑ b,b∴b.,,b 元02j2 小J2 z(/2…n-1) bb2n…bn=nan 小1J2…/n
5 i j n n j n j n n n j i i j i j i n i j i i j i j i n i j j j n j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1 1 1, 1 1, 1 1 1 − + + + − + + + + − − − − + − − 由于 − + − − − = − − n n n n n n j j j j j j n j nj j j j j b b b b 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1, ( ) ( 1) − − − = − − 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1, ( ) ( 1) n n n j j j j j n j i j j j j b b b a = aijMij