s15因式分解定理 、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
问题的引入 因式分解与多项式系数所在数域有关 如:x2-4=(x2-2) x2+2 (在有理数域上) X十 x2+2 (在实数域上) =(x-√2)(x+√2)(x-2)(x+√2)(在复数域上)
因式分解与多项式系数所在数域有关 如： ( )( ) 4 2 2 x x x − = − + 4 2 2 ( )( )( ) 2 = − + + x x x 2 2 2 （在有理数域上） = − + − + ( x x x i x i 2 2 2 2 )( )( )( ) 问题的引入 （在实数域上） （在复数域上）
、不可约多项式 Def设p(x)∈P1x1,且O(p(x)≥1,若p(x) 不能表示成数域P上两个次数比p(x)低的多项式的 乘积,则称p(x)为数域P上的不可约多项式 Remark ①一个多项式是否不可约依赖于系数域. ②一次多项式总是不可约多项式
设 p x P x ( ) [ ] ，且 ( p x( )) 1 ，若 p x( ) 不能表示成数域 P上两个次数比 p x( ) 低的多项式的 Def. 乘积，则称 p x( ) 为数域P上的不可约多项式. Remark ① 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ② 一次多项式总是不可约多项式. 一、不可约多项式
③多项式p(x)(op(x)21)不可约 分p(x)的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. ④多项式P(x)不可约,对V(x)∈Px有 P(x)f(x)(p(x),f(x))=1 证:设(p(x),f(x)=d(x),则d(x)p(x) →d(x)=a≠0或d(x)=cp(x),C≠0 即d(x)=1,或d(x)=cp(x) (p(x),f(x)=1m(x)f(x)
③ 多项式 p x p x ( ) ( ( )) 1 ( ) 不可约 p x( ) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. p x f x p x f x ( ) ( ) ( ), ( ) 1. 或 ( ) = ④ 多项式 p x( ) 不可约，对 f x P x ( ) [ ] 有 证：设 ( ( ), ( )) ( ), p x f x d x = 则 d x p x ( ) ( ) 或 d x cp x c ( ) ( ), 0 = d x cp x ( ) ( ) = ( ( ), ( )) 1 p x f x = p x f x ( ) ( ) = d x a ( ) 0 即 d x( ) 1, = 或
Th.5p(x)不可约.V(x),(x)∈Pxl,若 p(x)f(x)g(x),则p(x)f(x)或p(x)g(x) 证:若p(x)|∫(x),结论成立 若p(x)不整除∫(x),则(p(x),f(x)=1 Th4 →p(x)(x) cor.p(x)不可约,D(x)f(x)f(x)…f、(x) 则必有某个(x),使得P(x)f(x)
p x( ) 不可约. f x g x P x ( ), ( ) [ ] ，若 p x f x g x ( ) ( ) ( ), 则 p x f x ( ) ( ) 或 p x g x ( ) ( ). 证：若 结论成立 . p x f x ( ) ( ), Th4 若 p x f x ( ) ( ) 不整除 ，则 ( ( ), ( )) 1 p x f x = Th. 5 p x g x ( ) ( ). p x( ) 不可约， 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), s p x f x f x f x 则必有某个 f x i ( ), 使得 ( ) ( ). i p x f x Cor