§11数域 、数域 二、数域的性质 数学归纳法
一、数域 二、数域的性质 三、数学归纳法 §1.1 数域
数域 Def 设P是由一些复数组成的集合,其中包括 0与1,如果P中任意两个数的和、差、积商(除 数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域 例:复数集C、实数集R、有理数集Q都是数域。 注:自然数集N,整数集Z都不是数域
一、数域 设P是由一些复数组成的集合，其中包括 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 例:复数集C、实数集R、有理数集Q都是数域。 注：自然数集N，整数集Z都不是数域． Def
Remark. 1.若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中,则说数集P对这个运算是封闭的 2.数域的等价定义:如果一个包含0,1在内的数 集P对于加法,减法,乘法与除法(除数不为0) 是封闭的,则称集P为一个数城
Remark: 1. 若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2. 数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域．
例1.证明:数集Q(√2)={q+b2abeg} 是一个数域 证:0=0+02,1=1+0√2,:0,1∈Q(√2) 又对vx,y∈Q(√2,设x=a+b2,y=c+d√2, a,b,C,d∈Q,则有 x±y=(a±c)+(b±d)2∈Q(√2) x·y=(ac+2b)+(ad+bc)2∈Q(2) 设a+b2≠0,于是a-b2也不为0
是一个数域． 例1．证明：数集 Q a b a b Q ( 2 ) 2 | , = + 证： 0 0 0 2, 1 1 0 2, = + = + 又对 x y Q , ( 2 ), 设 x a b y c d = + = + 2, 2, 则有 x y ac bd ad bc Q = + + + ( 2 ) ( ) 2 ( 2 ) 0,1 ( 2 ) Q a b c d Q , , , , x y a c b d Q = + ( ) ( ) 2 ( 2 ), 设 a b + 2 0, 于是 a b − 2 也不为0．
(否则,若a-b√2=0,则a=b2, 于是有=√2∈Q, 或a=0,b=0→a+b√2=0.矛盾) c+d√2(+d√2)a-b2) a+b√2(a+b√2)(a-b√2) ac-2bd ad-bc a2-2b× 2∈Q. a2-2b Q(2)为数域 类似可证Q()={+b1,b∈,=√是数域
或 a b = = 0, 0 矛盾） （否则，若 a b − = 2 0, 则 a b = 2, 2 , a Q b 于是有 = + = a b 2 0. 2 ( 2 )( 2 ) 2 ( 2 )( 2 ) c d c d a b a b a b a b + + − = + + − 2 2 2 2 2 2 . 2 2 ac bd ad bc Q a b a b − − = + − − Q( 2 ) 为数域． 类似可证 Q i( ) = a bi a + = − ,b Q i , 1 是数域