第九章欧氏空间 3分部品部歌部部锦部导部您品导部物品导影健影部息 81定义与基本性质§2标准正交基 §3同构 84正交变换 85子空间 86对称矩阵的标准形 §7向量到子空间的§8酉空间介绍 距离一最小二乘法 小结与习题
1 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 小结与习题 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8 酉空间介绍
§1定义与基本性质 欢氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
2 一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
问题的引入: 1、线性空间中,向量之间的基本运算为线性运算, 其具体模型为几何空间R2、R3,但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及 2、在解析几何中,向量的长度,夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来: 长度 夹角<a,B>:cos<a,B> β 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
3 问题的引入： 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 其具体模型为几何空间 R R 2 3 、 , 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 但几何空间的度量 长度： = 都可以通过内积反映出来： , cos , 夹角 = ： 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
、欧氏空间的定义 1.定义 设V是实数域R上的线性空间,对V中任意两个向量 a、B,定义一个二元实函数,记作(a,B),若(a,/) 满足性质:Va,B,y∈V,k∈R 1(a,B)=(,a) (对称性) 2°(ka,B)=k(a,B) (数乘) 3”(a+B,y)=(a,y)+(,y) (可加性) 4(a,a)≥0,当且仅当a=0时(a,a)=0.(正定性
4 满足性质： , , , V k R 1 ( , ) ( , ) = 2 ( , ) ( , ) k k = 3 ( , ) , ( , ) + = + ( ) 4 ( , ) 0, 当且仅当 = 0 时 ( , ) 0. = 一、欧氏空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) （对称性） （数乘） （可加性） （正定性）
则称(a,B和的内积,并称这种定义了内积的 实数域R上的线性空间V为欧氏空间 注:欧氏空间ⅴ是特殊的线性空间 ①ⅴ为实数域R上的线性空间; ②ⅴ除向量的线性运算外,还有“内积”运算; 8(a,B)∈R
5 ① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ ( , ) . R 欧氏空间 V是特殊的线性空间 则称 ( , ) 为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 注：