第四节n级行列式的性质 性质1行列式与其转置行列式相等,即
1 第四节 n 级行列式的性质 性质1 行列式与其转置行列式相等，即 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =
性质2 行列式的某一行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面,即 12 12 In ke 2 k a n 1 2 n n 推论 行列式某一行(列)为零,则行列式为零 2
2 n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k 1 2 1 2 11 12 1 = 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面，即 性质2 推论 行列式某一行（列）为零，则行列式为零
性质3若行列式的某一列(行)的元素 都是两数之和例如 12 1;+ In 22…(a2;+a2;)…a2n D 21 nI n2 …: nn 则D等于下列两个行列式之和: li D 2i 2 21 2 2n 十 nn nI
3 性质3 若行列式的某一列（行）的元素 都是两数之和,例如 n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 + + + = 则D 等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1
性质4如果行列式的两行(列)对应于元素 都相等,则行列式为零 证明设 l141 12 ∑(-1) (1…j…J…J) kjk 且第行和第行相同,即an1=a,j=1,2,…,n
4 性质4 如果行列式的两行（列）对应于元素 都相等，则行列式为零. 证明 设 ( 1) , 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = − n i k n i k n j j j i j kj n j j j j j n n n n k k kn i i i n n a a a a a a a a a a a a a a a a i k a a j 1,2, ,n. 且第 行和第 行相同，即 i j = kj， =
由于展开式中,项 和 τ(h…jk…j…n) n]n 同时出现, 并且因为n=a,a1=a,所以两项的绝对值相 另外,由于排列………和;…j……奇偶性 正好相反,所以上述两的和为零 容易推知,行列式展中的项总可以按上递彩式 两两配对,从而行列式值为零
5 . . 1 1 正好相反，所以上述两项的和为零 另外，由于排列 和 奇偶性 并且因为 ， ，所以两项的绝对值相同 i k n k i n i j kj kj i j j j j j j j j j a a a a i i k k = = 同时出现， 和 由于展开式中，项 k i n k i n i k n i k n j i j kj n j j j j j j i j kj n j j j j j a a a a a a a a 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( 1) ( 1) − − 两两配对，从而行列式的值为零. 容易推知，行列式展开式中的项总可以按上述形 式