第七节 Cramer法则 n元线性方程组 1x1+a12x2+…+anxn=b1 X,+a 设线性方程组 21~1 22~2 nn ar+aax 2 2 +∴+.x.=b n nn 若常数项,b2…b不全为零则称此方程组为非 齐次线性方程组;若常数项b1,b2…b全为零 此时称方程组为齐次线性方程组
1 第七节 Cramer 法则 一 n 元线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2 bn 不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2 bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组
二 Cramer法则 如果线性方程组 11~1 122 nn 1X1+a2x+.+a n Lanxi+an2x2+.+ammon=bm 的系数行列式不等于零,即 D 22 n≠0 2 2
2 二 Cramer 法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 0
那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的, 解可以表为 2 其中D是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即 11 b In n,/ n,j+1 nn
3 , , , , , 2 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = = n = 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n . 1 , 1 , 1 1 1 1, 1 1 1, 1 1 n n j n n j n n j j n j a a b a a a a b a a D − + − + = 那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的， 解可以表为
证明 用D中第列元素的代数余子式;,A 依次乘方程细的n个方程得 (a1x1+a12x2+…+4nx)4=bA 21x 222+.、分4vsb24-j n1x1+2m2x2+、、、 dinan nj=0n2可 再把n个方程依次相加,得
4 证明 ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 + + + = + + + = + + + = n n n n n n j n n j n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中 第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j An j 再把 n 个方程依次相加，得
k12k1+…… k际 kn kj k=1 k=1 k=1 ∑b4g, k=1 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于D, 而其余x(≠)系数均为;又等式右端为D 于是Dx=D(=1,2,…,n) 当D≠0时,方程组(2)有唯一的一个解 D
5 , 1 1 1 1 1 1 = = = = = + + + + n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x a A x a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j = . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D 0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解