19有理系数多项式 本原多项式 二、整系数多项式的因式分解
一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解
问题的引入 1.由因式分解定理,作为一个特殊情形: 对vf(x)∈Qx,a(f(x)≥1,则f(x)可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积 但是,如何作出它的分解式却很复杂,没有一个 般的方法
问题的引入 1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形： 对 f x Q x f x ( ) [ ], ( ) 1, ( ) 则 f x( ) 可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积. 但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法
2.我们知道,在C上只有一次多项式才是不可约 多项式; 在R上,不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式; 但在Q上有任意次数的不可约多项式.如 xn-2,n∈z+ 如何判断Q上多项式的不可约性呢?
2. 我们知道，在 C 上只有一次多项式才是不可约 多项式； 在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式； 但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如 2, . n x n Z+ − 如何判断 Q 上多项式的不可约性呢?
3.有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题 这是因为任一有理数可表成两个整数的商 事实上,设f(x)=an1x+an1x"+…+a0, 则可选取适当整数C,使(x)为整系数多项式 若cf(x)的各项系数有公因子,就可以提出来,得 cf(x)=g(x),也即f(x)=-g(x), 其中g(x)是整系数多项式,且各项系数没有异于 土1的公因子
3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题． 这是因为任一有理数可表成两个整数的商． 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − 事实上，设 = + + + − 则可选取适当整数 c, 使 cf x( ) 为整系数多项式． cf x dg x ( ) ( ), = 若 cf x( ) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 也即 ( ) ( ), d f x g x c = 其中 g x( ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子．
、本原多项式 定义设g(x)=bnx"+bn1x1+…+b1x+b0≠0, b∈Z,i=0,1,2,…,n.若b,bn-1,…,b1,b没有 异于土1的公因子,即bn,b21…,b1,b是互素的, 则称g(x)为本原多项式
一、本原多项式 设 1 1 1 0 ( ) 0, n n n n g x b x b x b x b − 定义 = + + + + − , 0,1,2, , . i b Z i n = 若 b b b b n n , , , , −1 1 0 没有 则称 g x( ) 为本原多项式． 异于 的公因子，即 1 1 0 , , , , n n b b b b 1 − 是互素的