s18复系数与实系数 多项式的因式分解 、复系数多项式 二、实系数多项式
一、复系数多项式 二、实系数多项式
、复系数多项式 1.代数基本定理 vf(x)∈C|xl,若O(f(x)≥1,则f(x)在复数域 C上必有一根 推论1 vf(x)∈C|x],若a(f(x))≥1,则存在x-a∈C|x], 使(x-a)f(x) 即,f(x)在复数域上必有一个一次因式
1. 代数基本定理 一、复系数多项式 f x C x ( ) [ ] , 若 ( ( )) 1 , f x 则 f x( ) 在复数域 C 上必有一根． 推论1 f x C x ( ) [ ] , 若 ( ( )) 1 , f x 则存在 x a C x − [ ] , 使 ( ) | ( ) . x a f x − 即， f x( ) 在复数域上必有一个一次因式．
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式,即 vf(x)∈C|xl,a(f(x)>1,则f(x)可约 2.复系数多项式因式分解定理 vf(x)∈C|xl,若∂(f(x)≥1,则∫(x)在复数域 C上可唯一分解成一次因式的乘积
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 f x C x ( ) [ ], ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 可约． 2. 复系数多项式因式分解定理 f x C x ( ) [ ], 若 ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 在复数域 C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
推论1 f(x)∈C[x,若(∫(x)≥1,则∫(x)在C 上具有标准分解式 f∫( X=ax a1)"(x-a2)2…(x-ax 其中a1,a2,…,是不同的复数, r∈Z 推论2 vf(x)∈C[x,若O(f(x)=n,则∫(x)有n个 复根(重根按重数计算)
推论1 推论2 f x C x ( ) [ ], 若 ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 在 C 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x a x x x = − − − 1 2 , , Z s r r r + 其中 是不同的复数， , 1 2 , , , s 上具有标准分解式 复根（重根按重数计算）． f x C x ( ) [ ]， 若 = ( ( )) f x n ，则 f x( ) 有n个
二、实系数多项式 命题:若a是实系数多项式f(x)的复根,则a 的共轭复数a也是∫(x)的复根 证:设f(x)=anx”+an1xm+…+a0,a1∈R 若a为根,则 f(a=a,a"+am-a+.+ao=0 n 两边取共轭有∫(a)=ana+an1a+…+a=0 .a也是为∫(x)复根
二、实系数多项式 命题：若 是实系数多项式 的复根，则 的共轭复数 也是 的复根． f x( ) f x( ) 若 为根，则 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a − = + + + = − 两边取共轭有 ∴ 也是为 f x( ) 复根． 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a − = + + + = − 证： 1 1 0 ( ) , n n n n i f x a x a x a a R − 设 = + + + −