第十六讲、首次积分之间的关系、及其与通解 的联系 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
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本讲教学目的与目标 ·微分方程首次积分的本质特征，及与通解的本质联系， 温故： 首次积分存在性的判定。 口母+4二·生￥2)风 张样：上涛交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
˘Æ8Ü8I á©ê߃g»© üAß9Üœ) üÈX, ß: ƒg»©35½. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
进一步的思考： 1)如果f(x,y)=(f(x,y),fn(x,y)丰0，方程 dyi =fi(y),(y)ED,i=1..... (1) 不含自变量的函数独立的首次积分至多有-1个。 2)定理31只给出方程组(1)在定义域D中某点的邻域中首次 积分的局部存在性.但在D中，或在D的某个给定区域中首 次积分的整体存在性如何？是一个非常困难的问题. 分析与探讨：定理31中首次积分存在性的证明是借助解的存 在性得到的。 问：首次积分与通解之间有何本质的联系？回忆首次积分的例子 中通解所起的作用 2双0 张样：上海交通大学数学系 第十讲、背次积分之间的关系、与通解的联系
?ò⁄gµ 1) XJ f(x,y) = (f1(x,y),...,fn(x,y)) 6≡ 0, êß dyi dx = fi(x,y), (x,y) ∈ D, i = 1,...,n, (1) ÿ¹gC˛ºÍ’·ƒg»©ñık n−1 á. 2) ½n 31 êâ—êß| (1) 3½¬ç D •,:畃g »©¤‹35. 3 D •, ½3 D ,á⽴畃 g»©N35X¤º¥òáö~(JØK. ©¤Ü&?: ½n 31 •ƒg»©35y²¥/œ) 35" صƒg»©Üœ)Émk¤ üÈXº££ƒg»©~f •œ)§Âä^ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
首次积分与通解的关系 定理32 设V(x,y),i=1,,n,是方程组(1)在G上连续可微的函数独立 的首次积分.则由隐函数存在定理从V(x,y)=c,i=1,,n,解 出的函数 y=o(x,c),x∈J, 其中c是任意常数， (2) 是(1)在G内的通解，且包含了(1)在G内的所有解. ·口0·4之·4生+2刀0 张样：上海交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
ƒg»©Üœ)'X ½n 32 Vi(x,y), i = 1,...,n, ¥êß| (1) 3 G ˛ÎYåáºÍ’· ƒg»©. Kd¤ºÍ3½nl Vi(x,y) = ci , i = 1,...,n, ) —ºÍ y = φ(x, c), x ∈ Jc, Ÿ• c ¥?ø~Í, (2) ¥ (1) 3 G Sœ), Öù¹ (1) 3 G S§k). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
证 1.证(2)是方程组(1)的通解. 分析：回忆解和通解的定义，证明(2)满足解和通解的定义！ 因为(i=1,.)连续可微，所以0=(p1,.,)关于其变量连 续可微 对函数方程 Vi(x,o(x,c))=ci,i=1,...n, 两边关于x求导数得 aV,aV∂01 dx ayi dx aV0o=0,i=1…,n dyn dx 又V:是连续可微的首次积分，所以有 avi ox+ +..+ i=1,,n. 张样：上海交通大学数学系 第十六讲背次积分之何的关系、与通解的联系
y: 1. y (2) ¥êß| (1) œ). ©¤: ££)⁄œ)½¬ßy² (2) ˜v)⁄œ)½¬ú œè Vi (i = 1,...) ÎYåá, §± φ = (φ1,...,φn) 'uŸC˛Î Yåá. ȺÍêß Vi(x,φ(x, c)) ≡ ci , i = 1,...,n, ¸>'u x ¶Í ∂Vi ∂ x + ∂Vi ∂ y1 ∂ φ1 ∂ x +...+ ∂Vi ∂ yn ∂ φn ∂ x ≡ 0, i = 1,...,n. q Vi ¥ÎYåáƒg»©, §±k ∂Vi ∂ x + ∂Vi ∂ y1 f1 +...+ ∂Vi ∂ yn fn ≡ 0, i = 1,...,n. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX